Skip to content
Snippets Groups Projects
Commit a74a2796 authored by Jan Snellman's avatar Jan Snellman
Browse files

tenta, lösningsförslag

parent f849486d
No related branches found
No related tags found
No related merge requests found
Pipeline #129668 passed
Stage: deploy
Hide whitespace changes
Inline Side-by-side
TATA54/TENTOR/#tentaTATA5420240601sketch.org#
+ 6
− 1
View file @ a74a2796
......@@ -95,7 +95,7 @@ Antingen lösning till Pell x^2-7y^2=1 eller till negativa Pell x^2-7y^2=-1.
d = 7
cfd = continued_fraction(sqrt(d))
cfd
for j in range(15):
for j in range(20):
co = cfd.convergent(j)
y = co.denominator()
x = co.numerator()
......@@ -120,6 +120,11 @@ Antingen lösning till Pell x^2-7y^2=1 eller till negativa Pell x^2-7y^2=-1.
12 9403/3554 9403 3554 -3
13 11427/4319 11427 4319 2
14 20830/7873 20830 7873 -3
15 32257/12192 32257 12192 1
16 149858/56641 149858 56641 -3
17 182115/68833 182115 68833 2
18 331973/125474 331973 125474 -3
19 514088/194307 514088 194307 1
#+end_example
......
TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601-losning.aux
+ 1
− 1
View file @ a74a2796
......@@ -3,4 +3,4 @@
\@nameuse{bbl@beforestart}
\catcode `"\active
\babel@aux{swedish}{}
\gdef \@abspage@last{2}
\gdef \@abspage@last{3}
TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601-losning.log
+ 51
− 44
View file @ a74a2796
This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.25 (TeX Live 2023) (preloaded format=pdflatex 2024.5.13) 20 MAY 2024 12:21
This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.25 (TeX Live 2023) (preloaded format=pdflatex 2024.5.13) 20 MAY 2024 15:08
entering extended mode
restricted \write18 enabled.
file:line:error style messages enabled.
......@@ -156,66 +156,73 @@ File: l3backend-pdftex.def 2023-01-16 L3 backend support: PDF output (pdfTeX)
(./tenta-TATA54-20240601-losning.aux)
\openout1 = `tenta-TATA54-20240601-losning.aux'.
LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 20.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 20.
LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 20.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 20.
LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 20.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 20.
LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 20.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 20.
LaTeX Font Info: Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 20.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 20.
LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 20.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 20.
LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 20.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 20.
LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+msa on input line 36.
LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 22.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 22.
LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 22.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 22.
LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 22.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 22.
LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 22.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 22.
LaTeX Font Info: Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 22.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 22.
LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 22.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 22.
LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 22.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 22.
LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+msa on input line 39.
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
File: umsa.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols A
)
LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+msb on input line 36.
LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+msb on input line 39.
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
File: umsb.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols B
)
Overfull \hbox (5.51347pt too wide) in paragraph at lines 67--75
[]\OT1/cmr/bx/n/12 L[]\OT1/cmr/m/n/12 osning: Pa-ra-met-ri-se-ra ra-tio-nellt g
e-nom att skic-ka $\OML/cmm/m/it/12 k \OMS/cmsy/m/n/12 2 []$ \OT1/cmr/m/n/12 ti
ll den uni-ka sk[]arningspunkten
Overfull \hbox (11.54025pt too wide) in paragraph at lines 72--80
[] \OT1/cmr/bx/n/12 L[]osning: \OT1/cmr/m/n/12 Pa-ra-met-ri-se-ra ra-tio-nellt
ge-nom att skic-ka $\OML/cmm/m/it/12 t \OMS/cmsy/m/n/12 2 \OT1/cmr/bx/n/12 R$ \
OT1/cmr/m/n/12 till den uni-ka sk[]arningspunkten
[]
[1
{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2]
(./tenta-TATA54-20240601-losning.aux) )
{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}]
Overfull \hbox (8.4249pt too wide) in paragraph at lines 162--167
[] \OT1/cmr/bx/n/12 L[]osning: \OT1/cmr/m/n/12 Ef-tersom $99 = 3[] \OMS/cmsy/m/
n/12 ^^C \OT1/cmr/m/n/12 11$ s^^Wa ges den-na max-i-ma-la ord-ning av $[]((\OML
/cmm/m/it/12 ; ^^^\OT1/cmr/m/n/12 )(9)\OML/cmm/m/it/12 ; ^^^\OT1/cmr/m/n/12 (11
)) =
[]
[2] [3] (./tenta-TATA54-20240601-losning.aux) )
Here is how much of TeX's memory you used:
2974 strings out of 476041
47335 string characters out of 5793174
1860388 words of memory out of 6000000
23420 multiletter control sequences out of 15000+600000
521249 words of font info for 65 fonts, out of 8000000 for 9000
2966 strings out of 476041
47239 string characters out of 5793174
1859388 words of memory out of 6000000
23417 multiletter control sequences out of 15000+600000
519707 words of font info for 60 fonts, out of 8000000 for 9000
1137 hyphenation exceptions out of 8191
56i,6n,62p,252b,223s stack positions out of 10000i,1000n,20000p,200000b,200000s
</usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/typ
e1/public/amsfonts/cm/cmbx12.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/pub
lic/amsfonts/cm/cmex10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/am
sfonts/cm/cmmi10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts
/cm/cmmi12.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cm
mi6.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi8.pfb
></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmib10.pfb></us
r/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr10.pfb></usr/share
/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr12.pfb></usr/share/texliv
e/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr8.pfb></usr/share/texlive/texmf-
dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/f
onts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy8.pfb>
Output written on tenta-TATA54-20240601-losning.pdf (2 pages, 129981 bytes).
56i,9n,62p,252b,239s stack positions out of 10000i,1000n,20000p,200000b,200000s
</usr/share/texlive/texmf-dist/f
onts/type1/public/amsfonts/cm/cmbx12.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/t
ype1/public/amsfonts/cm/cmex10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/p
ublic/amsfonts/cm/cmmi10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/
amsfonts/cm/cmmi12.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfon
ts/cm/cmmi6.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/c
mmi8.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr10.pf
b></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr12.pfb></usr
/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr17.pfb></usr/share/
texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr8.pfb></usr/share/texlive/
texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texlive/texmf-
dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy8.pfb>
Output written on tenta-TATA54-20240601-losning.pdf (3 pages, 139190 bytes).
PDF statistics:
71 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
42 compressed objects within 1 object stream
74 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
44 compressed objects within 1 object stream
0 named destinations out of 1000 (max. 500000)
1 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)
TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601-losning.pdf
+ 0
− 0
View file @ a74a2796
No preview for this file type
TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601-losning.tex
+ 78
− 24
View file @ a74a2796
......@@ -10,15 +10,18 @@
\newcommand{\set}[1]{\left\{{#1}\right\}}
\newcommand{\vek}[1]{\boldsymbol{#1}}
\newcommand\setsuchas[2]{\left\{\,{#1}\,\vrule\,{#2}\,\right\}}
\newcommand{\Z}{\boldsymbol{Z}}
\newcommand{\Reals}{\boldsymbol{R}}
\newcommand{\QQ}{\boldsymbol{QQ}}
\newcommand{\Z}{\mathbf{Z}}
\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}
\newcommand{\QQ}{\mathbf{Q}}
\newcommand{\legendre}[2]{\genfrac{(}{)}{}{}{#1}{#2}}
\newcommand{\divides}[2]{{#1} \lvert {#2}}
\newcommand{\soln}{\textbf Lösning: }
\newcommand{\ett}{\mathbf{1}}
\newcommand{\mgm}[2]{\mathrm{mgm}(#1,#2)}
\newcommand{\soln}{\textbf{ Lösning: }}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\noindent{
{\Huge Lösningsförslag} \\
Talteori 6hp, Kurskod TATA54, Provkod TEN1 \\
1 juni 2024 \\
LINKÖPINGS UNIVERSITET\\
......@@ -26,7 +29,7 @@ Matematiska Institutionen\\
Examinator: Jan Snellman}
\bigskip
Lösningsförslag
Alla problem ger maximalt 3 poäng. Full poäng kräver fullständig lösning.
8p räcker för betyg 3, 11p för betyg 4, 14p för betyg 5.
......@@ -47,6 +50,8 @@ som räknar antalet multiplikativt inverterbara kongruensklasser modulo \(n\).}}
x^5 +2x +3 \equiv 0 \mod 27
\end{displaymath}
och bestäm \textbf{antalet} sådana lösningar modulo 81.
\soln
Polynomet \(f(x) = x^5 + 2x +3 \equiv x(x^4-1) \mod 3\),
så det har nollställena 0,1,-1 modulo 3.
......@@ -65,11 +70,11 @@ som räknar antalet multiplikativt inverterbara kongruensklasser modulo \(n\).}}
\end{displaymath}
\soln Parametrisera rationellt genom
att skicka \(k \in \Reals\)
att skicka \(t \in \Reals\)
till den unika skärningspunkten mellan kurvan och linjen
med lutning \(k\) genom \((-1,0)\). Det ger en bijektion
med lutning \(t\) genom \((-1,0)\). Det ger en bijektion
mellan kurvans högra gren och ett intervall av reella linjen;
denna bijektion skickar rationella \(k\) till
denna bijektion skickar rationella \(t\) till
rationella punkter, och omvänt. Använd symmetri för att
få med vänstra grenen.
......@@ -86,35 +91,84 @@ som räknar antalet multiplikativt inverterbara kongruensklasser modulo \(n\).}}
En punkt \((x,y)\) på kurvan uppfyller antingen
\(x^2-7y^2=1\) eller
\(x^2-7y^2=-1\). Heltalspunkter är således antingen lösningar
till Pells ekvation, eller till ``negativa Pell''.
till Pells ekvation med \(d=7\), eller till ``negativa Pell''.
Kedjebråksutvecklingen är
\[\sqrt{7} = [2; \overline{1,1,1,4}] \]
Sats i Rosen ger att
om konvergenterna till ovanstående kedjebråksutveckling är
\(P_k/Q_k\) så ges lösningarna till Pells ekvation
av
\[(x,y) = (Q_k, \, P_k) \qquad \text{ då } Q_k^2-7P_k =1\]
och motsvarande för negativa Pell. Eftersom periodlängden 4
är jämn, så har negativa Pell inga lösningar, medan
Pell har lösningarna ovan då \(k=3,7,11,15,\dots\).
För \(k=3,7\) erhålls lösningarna \((8,3)\) och
\((127,48)\).
\item
Låt \(\tau(n)\) beteckna antalet positiva delare till heltalet \(n\).
Visa att
\[
\sum_{\divides{k}{n}} \tau(k)
= \prod_{j=1}^r \binom{a_j + 2}{2}
\]
då \(n\) har primfaktoriseringen \(n=\prod_{j=1}^r p_j^{a_j}\).
Visa även att
\[
\sum_{k=1}^n \tau(k) =
\sum_{k=1}^n \left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor
\]
\item
Låt \(p\) vara ett udda primtal. Visa att ekvationen
Låt \(\tau(n)\) beteckna antalet positiva delare
till heltalet \(n\).
Visa att
\[
\sum_{\divides{k}{n}} \tau(k)
= \prod_{j=1}^r \binom{a_j + 2}{2}
\]
då \(n\) har primfaktoriseringen
\(n=\prod_{j=1}^r p_j^{a_j}\).
Visa även att
\[
\sum_{k=1}^n \tau(k) =
\sum_{k=1}^n \left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor
\]
\soln Låt \(\ett(n)=1\) för alla positiva heltal \(n\).
Då är \(\tau = \ett * \ett\) och
\[h(n):= \sum_{\divides{k}{n}} \tau(k)
= (\ett * \ett * \ett)(n)
\]
Eftersom \(\ett\) är multiplikativ, är även
\(h=\ett * \ett * \ett\) det, så det räcker
att verifiera likheten för fallet att \(n=p^s\) är
en primpotens. Vi har att
\[
h(p^s) = \sum_{a+b+c=s} 1 = \binom{s+3-1}{3-1}
\]
enligt urval med återläggning.
För den andra delen, sätt
\(A(n,k) = \lfloor \frac{n}{k} \rfloor\)
och notera att
\[
A(n,k) - A(n-1,k)
=
\begin{cases}
1 & \divides{k}{n} \\
0 & \text{ annars }
\end{cases}
\]
\item
Låt \(p\) vara ett udda primtal. Visa att ekvationen
\[ x^4 \equiv -1 \mod p\]
är lösbar om och endast om \(p \equiv 1 \mod 8\).
\soln
Rosen har en sats om \(n\)-ära residyer.
\item Vad är den största multiplikativa ordningen
av ett heltal modulo 99?
Ange något sådant heltal av maximal multiplikativ ordning.
\soln
Eftersom \(99=3^2*11\) så ges denna maximala ordning
av \(\mgm(\phi(9),\phi(11)) = \mgm(6,10) = 30\),
enligt sats i Rosen.
Vi ser att redan \(\mathrm{ord}_{99}(2)=30\).
\item Visa att \(n^3(n^{18}-1) \equiv 0 \mod 26\)
för alla heltal \(n\).
\soln Taget, och förenklat, från en gammal Melkersson-tenta,
lösning finns på kurshemsidan.
\end{enumerate}
......
0% or .
You are about to add 0 people to the discussion. Proceed with caution.
Finish editing this message first!
Please register or to comment