diff --git a/TATA54/TENTOR/#tentaTATA5420240601sketch.org# b/TATA54/TENTOR/#tentaTATA5420240601sketch.org#
index 6a3c47b0e9970d0e3e4e32b45376a9600fcc619c..7d451ec410a149004d75e140627513834d4109f5 100644
--- a/TATA54/TENTOR/#tentaTATA5420240601sketch.org#
+++ b/TATA54/TENTOR/#tentaTATA5420240601sketch.org#
@@ -95,7 +95,7 @@ Antingen lösning till Pell x^2-7y^2=1 eller till negativa Pell x^2-7y^2=-1.
d = 7
cfd = continued_fraction(sqrt(d))
cfd
- for j in range(15):
+ for j in range(20):
co = cfd.convergent(j)
y = co.denominator()
x = co.numerator()
@@ -120,6 +120,11 @@ Antingen lösning till Pell x^2-7y^2=1 eller till negativa Pell x^2-7y^2=-1.
12 9403/3554 9403 3554 -3
13 11427/4319 11427 4319 2
14 20830/7873 20830 7873 -3
+15 32257/12192 32257 12192 1
+16 149858/56641 149858 56641 -3
+17 182115/68833 182115 68833 2
+18 331973/125474 331973 125474 -3
+19 514088/194307 514088 194307 1
#+end_example
diff --git a/TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601-losning.aux b/TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601-losning.aux
index 7aa2b6d3880833bcbd5c4a4426a7f63cfdecd293..302e499eebb270ee6884ee3b9e8ec8df261ff9e9 100644
--- a/TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601-losning.aux
+++ b/TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601-losning.aux
@@ -3,4 +3,4 @@
\@nameuse{bbl@beforestart}
\catcode `"\active
\babel@aux{swedish}{}
-\gdef \@abspage@last{2}
+\gdef \@abspage@last{3}
diff --git a/TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601-losning.log b/TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601-losning.log
index 8b823ddc172f018b8291b0db858048da96fb8c84..a798e3af411a8741134ff9729d89761ec0b9d963 100644
--- a/TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601-losning.log
+++ b/TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601-losning.log
@@ -1,4 +1,4 @@
-This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.25 (TeX Live 2023) (preloaded format=pdflatex 2024.5.13) 20 MAY 2024 12:21
+This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.25 (TeX Live 2023) (preloaded format=pdflatex 2024.5.13) 20 MAY 2024 15:08
entering extended mode
restricted \write18 enabled.
file:line:error style messages enabled.
@@ -156,66 +156,73 @@ File: l3backend-pdftex.def 2023-01-16 L3 backend support: PDF output (pdfTeX)
(./tenta-TATA54-20240601-losning.aux)
\openout1 = `tenta-TATA54-20240601-losning.aux'.
-LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 20.
-LaTeX Font Info: ... okay on input line 20.
-LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 20.
-LaTeX Font Info: ... okay on input line 20.
-LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 20.
-LaTeX Font Info: ... okay on input line 20.
-LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 20.
-LaTeX Font Info: ... okay on input line 20.
-LaTeX Font Info: Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 20.
-LaTeX Font Info: ... okay on input line 20.
-LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 20.
-LaTeX Font Info: ... okay on input line 20.
-LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 20.
-LaTeX Font Info: ... okay on input line 20.
-LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+msa on input line 36.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 22.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 22.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 22.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 22.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 22.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 22.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 22.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 22.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 22.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 22.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 22.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 22.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 22.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 22.
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+msa on input line 39.
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
File: umsa.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols A
)
-LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+msb on input line 36.
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+msb on input line 39.
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
File: umsb.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols B
)
-Overfull \hbox (5.51347pt too wide) in paragraph at lines 67--75
-[]\OT1/cmr/bx/n/12 L[]\OT1/cmr/m/n/12 osning: Pa-ra-met-ri-se-ra ra-tio-nellt g
-e-nom att skic-ka $\OML/cmm/m/it/12 k \OMS/cmsy/m/n/12 2 []$ \OT1/cmr/m/n/12 ti
-ll den uni-ka sk[]arningspunkten
+Overfull \hbox (11.54025pt too wide) in paragraph at lines 72--80
+[] \OT1/cmr/bx/n/12 L[]osning: \OT1/cmr/m/n/12 Pa-ra-met-ri-se-ra ra-tio-nellt
+ge-nom att skic-ka $\OML/cmm/m/it/12 t \OMS/cmsy/m/n/12 2 \OT1/cmr/bx/n/12 R$ \
+OT1/cmr/m/n/12 till den uni-ka sk[]arningspunkten
[]
[1
-{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2]
-(./tenta-TATA54-20240601-losning.aux) )
+{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}]
+Overfull \hbox (8.4249pt too wide) in paragraph at lines 162--167
+[] \OT1/cmr/bx/n/12 L[]osning: \OT1/cmr/m/n/12 Ef-tersom $99 = 3[] \OMS/cmsy/m/
+n/12 ^^C \OT1/cmr/m/n/12 11$ s^^Wa ges den-na max-i-ma-la ord-ning av $[]((\OML
+/cmm/m/it/12 ; ^^^\OT1/cmr/m/n/12 )(9)\OML/cmm/m/it/12 ; ^^^\OT1/cmr/m/n/12 (11
+)) =
+ []
+
+[2] [3] (./tenta-TATA54-20240601-losning.aux) )
Here is how much of TeX's memory you used:
- 2974 strings out of 476041
- 47335 string characters out of 5793174
- 1860388 words of memory out of 6000000
- 23420 multiletter control sequences out of 15000+600000
- 521249 words of font info for 65 fonts, out of 8000000 for 9000
+ 2966 strings out of 476041
+ 47239 string characters out of 5793174
+ 1859388 words of memory out of 6000000
+ 23417 multiletter control sequences out of 15000+600000
+ 519707 words of font info for 60 fonts, out of 8000000 for 9000
1137 hyphenation exceptions out of 8191
- 56i,6n,62p,252b,223s stack positions out of 10000i,1000n,20000p,200000b,200000s
-</usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/typ
-e1/public/amsfonts/cm/cmbx12.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/pub
-lic/amsfonts/cm/cmex10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/am
-sfonts/cm/cmmi10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts
-/cm/cmmi12.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cm
-mi6.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi8.pfb
-></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmib10.pfb></us
-r/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr10.pfb></usr/share
-/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr12.pfb></usr/share/texliv
-e/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr8.pfb></usr/share/texlive/texmf-
-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/f
-onts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy8.pfb>
-Output written on tenta-TATA54-20240601-losning.pdf (2 pages, 129981 bytes).
+ 56i,9n,62p,252b,239s stack positions out of 10000i,1000n,20000p,200000b,200000s
+</usr/share/texlive/texmf-dist/f
+onts/type1/public/amsfonts/cm/cmbx12.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/t
+ype1/public/amsfonts/cm/cmex10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/p
+ublic/amsfonts/cm/cmmi10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/
+amsfonts/cm/cmmi12.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfon
+ts/cm/cmmi6.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/c
+mmi8.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr10.pf
+b></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr12.pfb></usr
+/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr17.pfb></usr/share/
+texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr8.pfb></usr/share/texlive/
+texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texlive/texmf-
+dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy8.pfb>
+Output written on tenta-TATA54-20240601-losning.pdf (3 pages, 139190 bytes).
PDF statistics:
- 71 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
- 42 compressed objects within 1 object stream
+ 74 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
+ 44 compressed objects within 1 object stream
0 named destinations out of 1000 (max. 500000)
1 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)
diff --git a/TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601-losning.pdf b/TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601-losning.pdf
index 4e982f03e0d8585d5b7206b310d920d863515aab..fe1e2814e88780cddce681e69ff7a62e86c9a220 100644
Binary files a/TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601-losning.pdf and b/TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601-losning.pdf differ
diff --git a/TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601-losning.tex b/TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601-losning.tex
index 976b17052c7c7d014a245ddac7d95fd38df46988..114f1e6ba8cc04aba9a309960d28803fb0edaff9 100644
--- a/TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601-losning.tex
+++ b/TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601-losning.tex
@@ -10,15 +10,18 @@
\newcommand{\set}[1]{\left\{{#1}\right\}}
\newcommand{\vek}[1]{\boldsymbol{#1}}
\newcommand\setsuchas[2]{\left\{\,{#1}\,\vrule\,{#2}\,\right\}}
-\newcommand{\Z}{\boldsymbol{Z}}
-\newcommand{\Reals}{\boldsymbol{R}}
-\newcommand{\QQ}{\boldsymbol{QQ}}
+\newcommand{\Z}{\mathbf{Z}}
+\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}
+\newcommand{\QQ}{\mathbf{Q}}
\newcommand{\legendre}[2]{\genfrac{(}{)}{}{}{#1}{#2}}
\newcommand{\divides}[2]{{#1} \lvert {#2}}
-\newcommand{\soln}{\textbf Lösning: }
+\newcommand{\ett}{\mathbf{1}}
+\newcommand{\mgm}[2]{\mathrm{mgm}(#1,#2)}
+\newcommand{\soln}{\textbf{ Lösning: }}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\noindent{
+{\Huge Lösningsförslag} \\
Talteori 6hp, Kurskod TATA54, Provkod TEN1 \\
1 juni 2024 \\
LINKÖPINGS UNIVERSITET\\
@@ -26,7 +29,7 @@ Matematiska Institutionen\\
Examinator: Jan Snellman}
\bigskip
-Lösningsförslag
+
Alla problem ger maximalt 3 poäng. Full poäng kräver fullständig lösning.
8p räcker för betyg 3, 11p för betyg 4, 14p för betyg 5.
@@ -47,6 +50,8 @@ som räknar antalet multiplikativt inverterbara kongruensklasser modulo \(n\).}}
x^5 +2x +3 \equiv 0 \mod 27
\end{displaymath}
och bestäm \textbf{antalet} sådana lösningar modulo 81.
+
+
\soln
Polynomet \(f(x) = x^5 + 2x +3 \equiv x(x^4-1) \mod 3\),
så det har nollställena 0,1,-1 modulo 3.
@@ -65,11 +70,11 @@ som räknar antalet multiplikativt inverterbara kongruensklasser modulo \(n\).}}
\end{displaymath}
\soln Parametrisera rationellt genom
- att skicka \(k \in \Reals\)
+ att skicka \(t \in \Reals\)
till den unika skärningspunkten mellan kurvan och linjen
- med lutning \(k\) genom \((-1,0)\). Det ger en bijektion
+ med lutning \(t\) genom \((-1,0)\). Det ger en bijektion
mellan kurvans högra gren och ett intervall av reella linjen;
- denna bijektion skickar rationella \(k\) till
+ denna bijektion skickar rationella \(t\) till
rationella punkter, och omvänt. Använd symmetri för att
få med vänstra grenen.
@@ -86,35 +91,84 @@ som räknar antalet multiplikativt inverterbara kongruensklasser modulo \(n\).}}
En punkt \((x,y)\) på kurvan uppfyller antingen
\(x^2-7y^2=1\) eller
\(x^2-7y^2=-1\). Heltalspunkter är således antingen lösningar
- till Pells ekvation, eller till ``negativa Pell''.
+ till Pells ekvation med \(d=7\), eller till ``negativa Pell''.
Kedjebråksutvecklingen är
\[\sqrt{7} = [2; \overline{1,1,1,4}] \]
Sats i Rosen ger att
+ om konvergenterna till ovanstående kedjebråksutveckling är
+ \(P_k/Q_k\) så ges lösningarna till Pells ekvation
+ av
+ \[(x,y) = (Q_k, \, P_k) \qquad \text{ då } Q_k^2-7P_k =1\]
+ och motsvarande för negativa Pell. Eftersom periodlängden 4
+ är jämn, så har negativa Pell inga lösningar, medan
+ Pell har lösningarna ovan då \(k=3,7,11,15,\dots\).
+ För \(k=3,7\) erhålls lösningarna \((8,3)\) och
+ \((127,48)\).
+
\item
- LÃ¥t \(\tau(n)\) beteckna antalet positiva delare till heltalet \(n\).
- Visa att
- \[
- \sum_{\divides{k}{n}} \tau(k)
- = \prod_{j=1}^r \binom{a_j + 2}{2}
- \]
- då \(n\) har primfaktoriseringen \(n=\prod_{j=1}^r p_j^{a_j}\).
- Visa även att
- \[
- \sum_{k=1}^n \tau(k) =
- \sum_{k=1}^n \left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor
- \]
-
- \item
- LÃ¥t \(p\) vara ett udda primtal. Visa att ekvationen
+ LÃ¥t \(\tau(n)\) beteckna antalet positiva delare
+ till heltalet \(n\).
+ Visa att
+ \[
+ \sum_{\divides{k}{n}} \tau(k)
+ = \prod_{j=1}^r \binom{a_j + 2}{2}
+ \]
+ då \(n\) har primfaktoriseringen
+ \(n=\prod_{j=1}^r p_j^{a_j}\).
+ Visa även att
+ \[
+ \sum_{k=1}^n \tau(k) =
+ \sum_{k=1}^n \left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor
+ \]
+
+ \soln Låt \(\ett(n)=1\) för alla positiva heltal \(n\).
+ Då är \(\tau = \ett * \ett\) och
+ \[h(n):= \sum_{\divides{k}{n}} \tau(k)
+ = (\ett * \ett * \ett)(n)
+ \]
+ Eftersom \(\ett\) är multiplikativ, är även
+ \(h=\ett * \ett * \ett\) det, så det räcker
+ att verifiera likheten för fallet att \(n=p^s\) är
+ en primpotens. Vi har att
+ \[
+ h(p^s) = \sum_{a+b+c=s} 1 = \binom{s+3-1}{3-1}
+ \]
+ enligt urval med återläggning.
+
+ För den andra delen, sätt
+ \(A(n,k) = \lfloor \frac{n}{k} \rfloor\)
+ och notera att
+ \[
+ A(n,k) - A(n-1,k)
+ =
+ \begin{cases}
+ 1 & \divides{k}{n} \\
+ 0 & \text{ annars }
+ \end{cases}
+ \]
+
+\item
+ LÃ¥t \(p\) vara ett udda primtal. Visa att ekvationen
\[ x^4 \equiv -1 \mod p\]
är lösbar om och endast om \(p \equiv 1 \mod 8\).
+ \soln
+ Rosen har en sats om \(n\)-ära residyer.
+
\item Vad är den största multiplikativa ordningen
av ett heltal modulo 99?
Ange något sådant heltal av maximal multiplikativ ordning.
+ \soln
+ Eftersom \(99=3^2*11\) så ges denna maximala ordning
+ av \(\mgm(\phi(9),\phi(11)) = \mgm(6,10) = 30\),
+ enligt sats i Rosen.
+ Vi ser att redan \(\mathrm{ord}_{99}(2)=30\).
\item Visa att \(n^3(n^{18}-1) \equiv 0 \mod 26\)
för alla heltal \(n\).
+
+ \soln Taget, och förenklat, från en gammal Melkersson-tenta,
+ lösning finns på kurshemsidan.
\end{enumerate}