Skip to content
Snippets Groups Projects
Commit f849486d authored by Jan Snellman's avatar Jan Snellman
Browse files

tenta 1 juni

parent f3e8a75a
No related branches found
No related tags found
No related merge requests found
Pipeline #129635 passed
Stage: deploy
Hide whitespace changes
Inline Side-by-side
Showing
with 460 additions and 1 deletion
TATA54/TENTOR/#tentaTATA5420240601sketch.org#
+ 5
− 1
View file @ f849486d
......@@ -47,11 +47,15 @@ def H_L_tree(f, p: int, r: int):
q = p^k
R.<x> = ZZ[]
f = x^5 + 2*x + 3
df=f.diff(); df
f.roots(Integers(p),multiplicities=False)
f.roots(Integers(q),multiplicities=False)
#+end_src
#+RESULTS:
: 5*x^4 + 2
: [0, 2, 1]
: [12, 26, 22]
#+begin_src sage :session :results file :file "u1.png"
......
TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601-losning.aux 0 → 100644
+ 6
− 0
View file @ f849486d
\relax
\providecommand\babel@aux[2]{}
\@nameuse{bbl@beforestart}
\catcode `"\active
\babel@aux{swedish}{}
\gdef \@abspage@last{2}
TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601-losning.log 0 → 100644
+ 221
− 0
View file @ f849486d
This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.25 (TeX Live 2023) (preloaded format=pdflatex 2024.5.13) 20 MAY 2024 12:21
entering extended mode
restricted \write18 enabled.
file:line:error style messages enabled.
%&-line parsing enabled.
**tenta-TATA54-20240601-losning.tex
(./tenta-TATA54-20240601-losning.tex
LaTeX2e <2022-11-01> patch level 1
L3 programming layer <2023-02-22>
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls
Document Class: article 2022/07/02 v1.4n Standard LaTeX document class
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/size12.clo
File: size12.clo 2022/07/02 v1.4n Standard LaTeX file (size option)
)
\c@part=\count185
\c@section=\count186
\c@subsection=\count187
\c@subsubsection=\count188
\c@paragraph=\count189
\c@subparagraph=\count190
\c@figure=\count191
\c@table=\count192
\abovecaptionskip=\skip48
\belowcaptionskip=\skip49
\bibindent=\dimen140
)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/a4wide/a4wide.sty
Package: a4wide 1994/08/30
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ntgclass/a4.sty
Package: a4 2023/01/10 v1.2g A4 based page layout
))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/enumerate.sty
Package: enumerate 2015/07/23 v3.00 enumerate extensions (DPC)
\@enLab=\toks16
)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
Package: amsmath 2022/04/08 v2.17n AMS math features
\@mathmargin=\skip50
For additional information on amsmath, use the `?' option.
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty
Package: amstext 2021/08/26 v2.01 AMS text
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 generic functions
\@emptytoks=\toks17
\ex@=\dimen141
))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d Bold Symbols
\pmbraise@=\dimen142
)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
Package: amsopn 2022/04/08 v2.04 operator names
)
\inf@bad=\count193
LaTeX Info: Redefining \frac on input line 234.
\uproot@=\count194
\leftroot@=\count195
LaTeX Info: Redefining \overline on input line 399.
LaTeX Info: Redefining \colon on input line 410.
\classnum@=\count196
\DOTSCASE@=\count197
LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 496.
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 499.
LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 620.
\Mathstrutbox@=\box51
\strutbox@=\box52
LaTeX Info: Redefining \big on input line 722.
LaTeX Info: Redefining \Big on input line 723.
LaTeX Info: Redefining \bigg on input line 724.
LaTeX Info: Redefining \Bigg on input line 725.
\big@size=\dimen143
LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OML on input line 743.
LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OMS on input line 744.
\macc@depth=\count198
LaTeX Info: Redefining \bmod on input line 905.
LaTeX Info: Redefining \pmod on input line 910.
LaTeX Info: Redefining \smash on input line 940.
LaTeX Info: Redefining \relbar on input line 970.
LaTeX Info: Redefining \Relbar on input line 971.
\c@MaxMatrixCols=\count199
\dotsspace@=\muskip16
\c@parentequation=\count266
\dspbrk@lvl=\count267
\tag@help=\toks18
\row@=\count268
\column@=\count269
\maxfields@=\count270
\andhelp@=\toks19
\eqnshift@=\dimen144
\alignsep@=\dimen145
\tagshift@=\dimen146
\tagwidth@=\dimen147
\totwidth@=\dimen148
\lineht@=\dimen149
\@envbody=\toks20
\multlinegap=\skip51
\multlinetaggap=\skip52
\mathdisplay@stack=\toks21
LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2953.
LaTeX Info: Redefining \] on input line 2954.
)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
Package: amssymb 2013/01/14 v3.01 AMS font symbols
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
Package: amsfonts 2013/01/14 v3.01 Basic AMSFonts support
\symAMSa=\mathgroup4
\symAMSb=\mathgroup5
LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \hbar on input line 98.
LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
(Font) U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 106.
))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty
Package: amsthm 2020/05/29 v2.20.6
\thm@style=\toks22
\thm@bodyfont=\toks23
\thm@headfont=\toks24
\thm@notefont=\toks25
\thm@headpunct=\toks26
\thm@preskip=\skip53
\thm@postskip=\skip54
\thm@headsep=\skip55
\dth@everypar=\toks27
)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty
Package: inputenc 2021/02/14 v1.3d Input encoding file
\inpenc@prehook=\toks28
\inpenc@posthook=\toks29
)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty
Package: babel 2023/02/13 3.86 The Babel package
\babel@savecnt=\count271
\U@D=\dimen150
\l@unhyphenated=\language85
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/txtbabel.def)
\bbl@readstream=\read2
\bbl@dirlevel=\count272
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel-swedish/swedish.ldf
Language: swedish 2021/02/06 v2.3e Swedish support from the babel system
Package babel Info: Making " an active character on input line 90.
))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/locale/sv/babel-swedish.tex
Package babel Info: Importing font and identification data for swedish
(babel) from babel-sv.ini. Reported on input line 11.
)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdftex.def
File: l3backend-pdftex.def 2023-01-16 L3 backend support: PDF output (pdfTeX)
\l__color_backend_stack_int=\count273
\l__pdf_internal_box=\box53
)
(./tenta-TATA54-20240601-losning.aux)
\openout1 = `tenta-TATA54-20240601-losning.aux'.
LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 20.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 20.
LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 20.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 20.
LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 20.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 20.
LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 20.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 20.
LaTeX Font Info: Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 20.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 20.
LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 20.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 20.
LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 20.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 20.
LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+msa on input line 36.
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
File: umsa.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols A
)
LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+msb on input line 36.
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
File: umsb.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols B
)
Overfull \hbox (5.51347pt too wide) in paragraph at lines 67--75
[]\OT1/cmr/bx/n/12 L[]\OT1/cmr/m/n/12 osning: Pa-ra-met-ri-se-ra ra-tio-nellt g
e-nom att skic-ka $\OML/cmm/m/it/12 k \OMS/cmsy/m/n/12 2 []$ \OT1/cmr/m/n/12 ti
ll den uni-ka sk[]arningspunkten
[]
[1
{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2]
(./tenta-TATA54-20240601-losning.aux) )
Here is how much of TeX's memory you used:
2974 strings out of 476041
47335 string characters out of 5793174
1860388 words of memory out of 6000000
23420 multiletter control sequences out of 15000+600000
521249 words of font info for 65 fonts, out of 8000000 for 9000
1137 hyphenation exceptions out of 8191
56i,6n,62p,252b,223s stack positions out of 10000i,1000n,20000p,200000b,200000s
</usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/typ
e1/public/amsfonts/cm/cmbx12.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/pub
lic/amsfonts/cm/cmex10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/am
sfonts/cm/cmmi10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts
/cm/cmmi12.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cm
mi6.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi8.pfb
></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmib10.pfb></us
r/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr10.pfb></usr/share
/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr12.pfb></usr/share/texliv
e/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr8.pfb></usr/share/texlive/texmf-
dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/f
onts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy8.pfb>
Output written on tenta-TATA54-20240601-losning.pdf (2 pages, 129981 bytes).
PDF statistics:
71 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
42 compressed objects within 1 object stream
0 named destinations out of 1000 (max. 500000)
1 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)
TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601-losning.pdf 0 → 100644
+ 0
− 0
View file @ f849486d
File added
TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601-losning.tex 0 → 100644
+ 130
− 0
View file @ f849486d
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
%\usepackage{times}
%\usepackage{euler}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[swedish]{babel}
\newcommand{\sgd}{\mathrm{sgd}}
\newcommand{\set}[1]{\left\{{#1}\right\}}
\newcommand{\vek}[1]{\boldsymbol{#1}}
\newcommand\setsuchas[2]{\left\{\,{#1}\,\vrule\,{#2}\,\right\}}
\newcommand{\Z}{\boldsymbol{Z}}
\newcommand{\Reals}{\boldsymbol{R}}
\newcommand{\QQ}{\boldsymbol{QQ}}
\newcommand{\legendre}[2]{\genfrac{(}{)}{}{}{#1}{#2}}
\newcommand{\divides}[2]{{#1} \lvert {#2}}
\newcommand{\soln}{\textbf Lösning: }
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\noindent{
Talteori 6hp, Kurskod TATA54, Provkod TEN1 \\
1 juni 2024 \\
LINKÖPINGS UNIVERSITET\\
Matematiska Institutionen\\
Examinator: Jan Snellman}
\bigskip
Lösningsförslag
Alla problem ger maximalt 3 poäng. Full poäng kräver fullständig lösning.
8p räcker för betyg 3, 11p för betyg 4, 14p för betyg 5.
\medskip
{\small{Med \(\mu\) avses Möbiusfunktionen, den multiplikativa funktion som uppfyller
\(\mu(1)=1\), \(\mu(p)=-1\) för \(p\) primtal, och \(\mu(n)=0\) för alla \(n>1\) som
delas av kvadraten av något primtal. Med \(\phi\) avses Eulers phi-funktion,
som räknar antalet multiplikativt inverterbara kongruensklasser modulo \(n\).}}
\medskip
\begin{enumerate}[1)]
\item Hitta alla lösningar till
\begin{displaymath}
x^5 +2x +3 \equiv 0 \mod 27
\end{displaymath}
och bestäm \textbf{antalet} sådana lösningar modulo 81.
\soln
Polynomet \(f(x) = x^5 + 2x +3 \equiv x(x^4-1) \mod 3\),
så det har nollställena 0,1,-1 modulo 3.
Den formella derivatan är
\(f'(x)=5x^4+2 \equiv -(x^4+1) \mod 3\) vilket är
skiljt från noll evaluerat på de tre nollställena.
Alla dessa tre nollställen lyfter alltså unikt till
nollställen modulo \(3^k\) enligt Hensels lemma,
så det finns 3 nollställen modulo 27 och modulo 81.
Modulo 27 är dessa 12, 22, och 26.
\item Hitta alla rationella punkter på kurvan
\begin{displaymath}
x^2 -7y^2 - 1 = 0
\end{displaymath}
\soln Parametrisera rationellt genom
att skicka \(k \in \Reals\)
till den unika skärningspunkten mellan kurvan och linjen
med lutning \(k\) genom \((-1,0)\). Det ger en bijektion
mellan kurvans högra gren och ett intervall av reella linjen;
denna bijektion skickar rationella \(k\) till
rationella punkter, och omvänt. Använd symmetri för att
få med vänstra grenen.
\item
Ange explicit två olika punkter på kurvan
\begin{displaymath}
(x^2 -7y^2 - 1)(x^2-7y^2+1)=0
\end{displaymath}
vars koordinater är positiva heltal; beskriv alla övriga
sådana punkter.
\soln
En punkt \((x,y)\) på kurvan uppfyller antingen
\(x^2-7y^2=1\) eller
\(x^2-7y^2=-1\). Heltalspunkter är således antingen lösningar
till Pells ekvation, eller till ``negativa Pell''.
Kedjebråksutvecklingen är
\[\sqrt{7} = [2; \overline{1,1,1,4}] \]
Sats i Rosen ger att
\item
Låt \(\tau(n)\) beteckna antalet positiva delare till heltalet \(n\).
Visa att
\[
\sum_{\divides{k}{n}} \tau(k)
= \prod_{j=1}^r \binom{a_j + 2}{2}
\]
då \(n\) har primfaktoriseringen \(n=\prod_{j=1}^r p_j^{a_j}\).
Visa även att
\[
\sum_{k=1}^n \tau(k) =
\sum_{k=1}^n \left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor
\]
\item
Låt \(p\) vara ett udda primtal. Visa att ekvationen
\[ x^4 \equiv -1 \mod p\]
är lösbar om och endast om \(p \equiv 1 \mod 8\).
\item Vad är den största multiplikativa ordningen
av ett heltal modulo 99?
Ange något sådant heltal av maximal multiplikativ ordning.
\item Visa att \(n^3(n^{18}-1) \equiv 0 \mod 26\)
för alla heltal \(n\).
\end{enumerate}
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601-losning.tex~ 0 → 100644
+ 98
− 0
View file @ f849486d
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
%\usepackage{times}
%\usepackage{euler}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[swedish]{babel}
\newcommand{\sgd}{\mathrm{sgd}}
\newcommand{\set}[1]{\left\{{#1}\right\}}
\newcommand{\vek}[1]{\boldsymbol{#1}}
\newcommand\setsuchas[2]{\left\{\,{#1}\,\vrule\,{#2}\,\right\}}
\newcommand{\Z}{\boldsymbol{Z}}
\newcommand{\legendre}[2]{\genfrac{(}{)}{}{}{#1}{#2}}
\newcommand{\divides}[2]{{#1} \lvert {#2}}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\noindent{
Talteori 6hp, Kurskod TATA54, Provkod TEN1 \\
1 juni 2024 \\
LINKÖPINGS UNIVERSITET\\
Matematiska Institutionen\\
Examinator: Jan Snellman}
\bigskip
Alla problem ger maximalt 3 poäng. Full poäng kräver fullständig lösning.
8p räcker för betyg 3, 11p för betyg 4, 14p för betyg 5.
\medskip
{\small{Med \(\mu\) avses Möbiusfunktionen, den multiplikativa funktion som uppfyller
\(\mu(1)=1\), \(\mu(p)=-1\) för \(p\) primtal, och \(\mu(n)=0\) för alla \(n>1\) som
delas av kvadraten av något primtal. Med \(\phi\) avses Eulers phi-funktion,
som räknar antalet multiplikativt inverterbara kongruensklasser modulo \(n\).}}
\medskip
\begin{enumerate}[1)]
\item Hitta alla lösningar till
\begin{displaymath}
x^5 +2x +3 \equiv 0 \mod 27
\end{displaymath}
och bestäm \textbf{antalet} sådana lösningar modulo 81.
\item Hitta alla rationella punkter på kurvan
\begin{displaymath}
x^2 -7y^2 - 1 = 0
\end{displaymath}
\item
Ange explicit två olika punkter på kurvan
\begin{displaymath}
(x^2 -7y^2 - 1)(x^2-7y^2+1)=0
\end{displaymath}
vars koordinater är positiva heltal; beskriv alla övriga
sådana punkter.
\item
Låt \(\tau(n)\) beteckna antalet positiva delare till heltalet \(n\).
Visa att
\[
\sum_{\divides{k}{n}} \tau(k)
= \prod_{j=1}^r \binom{a_j + 2}{2}
\]
då \(n\) har primfaktoriseringen \(n=\prod_{j=1}^r p_j^{a_j}\).
Visa även att
\[
\sum_{k=1}^n \tau(k) =
\sum_{k=1}^n \left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor
\]
\item
Låt \(p\) vara ett udda primtal. Visa att ekvationen
\[ x^4 \equiv -1 \mod p\]
är lösbar om och endast om \(p \equiv 1 \mod 8\).
\item Vad är den största multiplikativa ordningen
av ett heltal modulo 99?
Ange något sådant heltal av maximal multiplikativ ordning.
\item Visa att \(n^3(n^{18}-1) \equiv 0 \mod 26\)
för alla heltal \(n\).
\end{enumerate}
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
0% or .
You are about to add 0 people to the discussion. Proceed with caution.
Finish editing this message first!
Please register or to comment