Newer
Older
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
#+title: TATA54 tenta 20240601, lösningskiss
#+author: Jan Snellman
* Preliminärt
7 uppgifter, 3p för varje. Försöker täcka
- Kongruensräkning
- Hensellyft
- Kvadratisk reciprocite
- Kedjebråk
- Pell eller Pytagoranska tripplar
* Gemensamm kod
#+begin_src sage :session :export none
def H_L_tree(f, p: int, r: int):
vert = [(0,0)]
for j in range(1,r+1):
fj = f.change_ring(Integers(p^j))
fzj = fj.roots(multiplicities=False)
vert += [(z,j) for z in fzj]
return DiGraph([vert,
lambda u,v: (u[1] == 1 and v[1] == 0)
or
( (u[1] == v[1]+1) and ((u[0] - v[0]) % p^v[1] ==0) )
])
#+end_src
#+RESULTS:
#+begin_src latex
\newcommand{\QQ}{\mathbf{Q}}
\newcommand{\ZZ}{\mathbf{Z}}
#+end_src
* Uppgifterna
** U1
#+begin_src latex
Hitta alla lösningar till
\begin{displaymath}
x^5 +2x +3 \equiv 0 \mod 27
\end{displaymath}
#+end_src
#+begin_src sage :session
p = 3
k = 3
q = p^k
R.<x> = ZZ[]
f = x^5 + 2*x + 3
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
: [12, 26, 22]
#+begin_src sage :session :results file :file "u1.png"
H_L_tree(f,p,k).show(layout='tree')
#+end_src
#+RESULTS:
[[file:u1.png]]
** U2
#+begin_src latex
Hitta alla rationella punkter på kurvan
\begin{displaymath}
x^2 -7y^2 - 1 = 0
\end{displaymath}
#+end_src
Parametrisera med lutning, rationell punkt (-1,0)
** U3
#+begin_src latex
Ange explicit två punkter på kurvan
\begin{displaymath}
(x^2 -7y^2 - 1)(x^2-7y^2+1)=0
\end{displaymath}
vars koordinater är positiva heltal; beskriv alla övriga sådana.
#+end_src
Antingen lösning till Pell x^2-7y^2=1 eller till negativa Pell x^2-7y^2=-1.
#+begin_src sage :session
d = 7
cfd = continued_fraction(sqrt(d))
cfd
co = cfd.convergent(j)
y = co.denominator()
x = co.numerator()
print(j,co,x,y,x^2-d*y^2)
#+end_src
#+RESULTS:
#+begin_example
[2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, ...]
0 2 2 1 -3
1 3 3 1 2
2 5/2 5 2 -3
3 8/3 8 3 1
4 37/14 37 14 -3
5 45/17 45 17 2
6 82/31 82 31 -3
7 127/48 127 48 1
8 590/223 590 223 -3
9 717/271 717 271 2
10 1307/494 1307 494 -3
11 2024/765 2024 765 1
12 9403/3554 9403 3554 -3
13 11427/4319 11427 4319 2
14 20830/7873 20830 7873 -3
15 32257/12192 32257 12192 1
16 149858/56641 149858 56641 -3
17 182115/68833 182115 68833 2
18 331973/125474 331973 125474 -3
19 514088/194307 514088 194307 1
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
#+end_example
** U4
#+begin_src latex
Låt \(\tau(n)\) beteckna antalet positiva delare till heltalet \(n\).
Visa att
\[
\sum_{\divides{k}{n}} \tau(k)
= \prod_{j=1}^r \binom{a_j + 2}{2}
\]
då \(n\) har primfaktoriseringen \(n=\prod_{j=1}^r p_j^{a_j}\).
Visa även att
\[
\sum_{k=1}^n \tau(k) = \sum_{k=1}^n \left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor
\]
#+end_src
** U5
#+begin_src latex
Låt \(p\) vara ett udda primtal. Visa att ekvationen
\[ x^4 \equiv -1 \mod p\]
är lösbar om och endast om \(p \equiv 1 \mod 8\).
#+end_src
** U6
#+begin_src latex
Vad är den största multiplikativa ordningen av ett heltal modulo 99?
Ange något sådant heltal av maximal multiplikativ ordning.
#+end_src
#+RESULTS:
#+begin_export latex
Vad är den största multiplikativa ordningen av ett heltal modulo 99?
Ange något sådant heltal av maximal multiplikativ ordning.
#+end_export
** U7
#+begin_src latex
Visa att \(n^3(n^{18}-1) \equiv 0 \mod 26\) för alla heltal \(n\).
#+end_src
* Slut