Skip to content
Snippets Groups Projects
Commit f3e8a75a authored by Jan Snellman's avatar Jan Snellman
Browse files

tenta 1 juni

parent 71284ce0
No related branches found
No related tags found
No related merge requests found
Pipeline #129572 passed
Stage: deploy
Hide whitespace changes
Inline Side-by-side
Showing
with 642 additions and 35 deletions
TATA54/TENTOR/#tentaTATA5420240601.tex#
+ 44
− 35
View file @ f3e8a75a
...@@ -38,41 +38,50 @@ som räknar antalet multiplikativt inverterbara kongruensklasser modulo \(n\).}} ...@@ -38,41 +38,50 @@ som räknar antalet multiplikativt inverterbara kongruensklasser modulo \(n\).}}
\begin{enumerate}[1)] \begin{enumerate}[1)]
\item Hitta alla lösningar till \item Hitta alla lösningar till
\begin{displaymath} \begin{displaymath}
x^5 +2x +3 \equiv 0 \mod 81 x^5 +2x +3 \equiv 0 \mod 27
\end{displaymath} \end{displaymath}
och bestäm \textbf{antalet} sådana lösningar modulo 81.
\item Hitta alla rationella punkter på kurvan
\item Bestäm en primitiv rot modulo 7, och hitta sedan \begin{displaymath}
alla heltalslösningar till x^2 -7y^2 - 1 = 0
\begin{displaymath} \end{displaymath}
x^x \equiv x \mod 7
\end{displaymath} \item
(Obs: \(19^{19} \equiv 19 \mod 7\) och \(19 \equiv 5 \mod 7\), Ange explicit två olika punkter på kurvan
men \(5^5 \equiv 3 \mod 7\).) \begin{displaymath}
\item Bevisa att (x^2 -7y^2 - 1)(x^2-7y^2+1)=0
\begin{math} \end{displaymath}
\sum_{\divides{d}{n}} \phi(d)=n vars koordinater är positiva heltal; beskriv alla övriga
\end{math} sådana punkter.
och med hjälp av detta att
\begin{math} \item
\sum_{\divides{d}{n}} d\mu(n/d)=\phi(n). Låt \(\tau(n)\) beteckna antalet positiva delare till heltalet \(n\).
\end{math} Visa att
(Du behöver inte visa att \(\phi\) och \(\mu\) är multiplikativa). \[
\item Ange alla udda primtal \(p\) så att kongruensen \(x^2 \equiv 11 \mod p\) \sum_{\divides{k}{n}} \tau(k)
är lösbar. = \prod_{j=1}^r \binom{a_j + 2}{2}
\]
\item Hitta den lösning \((x,y)\) i positiva heltal till då \(n\) har primfaktoriseringen \(n=\prod_{j=1}^r p_j^{a_j}\).
\begin{displaymath} Visa även att
x^2-11y^2=1 \[
\end{displaymath} \sum_{k=1}^n \tau(k) =
som ligger närmast origo. Hitta sedan en annan lösning i positiva heltal. \sum_{k=1}^n \left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor
Ge sedan en rationell approximation till \(\sqrt{11}\) med absolutfel \(<10^{-4}\). \]
\item Skriv 87 som en summa av fyra kvadrater. \item
Visa sedan att det inte går med tre. Låt \(p\) vara ett udda primtal. Visa att ekvationen
\[ x^4 \equiv -1 \mod p\]
är lösbar om och endast om \(p \equiv 1 \mod 8\).
\item Vad är den största multiplikativa ordningen
av ett heltal modulo 99?
Ange något sådant heltal av maximal multiplikativ ordning.
\item Visa att \(n^3(n^{18}-1) \equiv 0 \mod 26\)
för alla heltal \(n\).
\end{enumerate} \end{enumerate}
......
TATA54/TENTOR/#tentaTATA5420240601sketch.org# 0 → 100644
+ 161
− 0
View file @ f3e8a75a
#+title: TATA54 tenta 20240601, lösningskiss
#+author: Jan Snellman
* Preliminärt
7 uppgifter, 3p för varje. Försöker täcka
- Kongruensräkning
- Hensellyft
- Kvadratisk reciprocite
- Kedjebråk
- Pell eller Pytagoranska tripplar
* Gemensamm kod
#+begin_src sage :session :export none
def H_L_tree(f, p: int, r: int):
vert = [(0,0)]
for j in range(1,r+1):
fj = f.change_ring(Integers(p^j))
fzj = fj.roots(multiplicities=False)
vert += [(z,j) for z in fzj]
return DiGraph([vert,
lambda u,v: (u[1] == 1 and v[1] == 0)
or
( (u[1] == v[1]+1) and ((u[0] - v[0]) % p^v[1] ==0) )
])
#+end_src
#+RESULTS:
#+begin_src latex
\newcommand{\QQ}{\mathbf{Q}}
\newcommand{\ZZ}{\mathbf{Z}}
#+end_src
* Uppgifterna
** U1
#+begin_src latex
Hitta alla lösningar till
\begin{displaymath}
x^5 +2x +3 \equiv 0 \mod 27
\end{displaymath}
#+end_src
#+begin_src sage :session
p = 3
k = 3
q = p^k
R.<x> = ZZ[]
f = x^5 + 2*x + 3
f.roots(Integers(q),multiplicities=False)
#+end_src
#+RESULTS:
: [12, 26, 22]
#+begin_src sage :session :results file :file "u1.png"
H_L_tree(f,p,k).show(layout='tree')
#+end_src
#+RESULTS:
[[file:u1.png]]
** U2
#+begin_src latex
Hitta alla rationella punkter på kurvan
\begin{displaymath}
x^2 -7y^2 - 1 = 0
\end{displaymath}
#+end_src
Parametrisera med lutning, rationell punkt (-1,0)
** U3
#+begin_src latex
Ange explicit två punkter på kurvan
\begin{displaymath}
(x^2 -7y^2 - 1)(x^2-7y^2+1)=0
\end{displaymath}
vars koordinater är positiva heltal; beskriv alla övriga sådana.
#+end_src
Antingen lösning till Pell x^2-7y^2=1 eller till negativa Pell x^2-7y^2=-1.
#+begin_src sage :session
d = 7
cfd = continued_fraction(sqrt(d))
cfd
for j in range(15):
co = cfd.convergent(j)
y = co.denominator()
x = co.numerator()
print(j,co,x,y,x^2-d*y^2)
#+end_src
#+RESULTS:
#+begin_example
[2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, ...]
0 2 2 1 -3
1 3 3 1 2
2 5/2 5 2 -3
3 8/3 8 3 1
4 37/14 37 14 -3
5 45/17 45 17 2
6 82/31 82 31 -3
7 127/48 127 48 1
8 590/223 590 223 -3
9 717/271 717 271 2
10 1307/494 1307 494 -3
11 2024/765 2024 765 1
12 9403/3554 9403 3554 -3
13 11427/4319 11427 4319 2
14 20830/7873 20830 7873 -3
#+end_example
** U4
#+begin_src latex
Låt \(\tau(n)\) beteckna antalet positiva delare till heltalet \(n\).
Visa att
\[
\sum_{\divides{k}{n}} \tau(k)
= \prod_{j=1}^r \binom{a_j + 2}{2}
\]
då \(n\) har primfaktoriseringen \(n=\prod_{j=1}^r p_j^{a_j}\).
Visa även att
\[
\sum_{k=1}^n \tau(k) = \sum_{k=1}^n \left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor
\]
#+end_src
** U5
#+begin_src latex
Låt \(p\) vara ett udda primtal. Visa att ekvationen
\[ x^4 \equiv -1 \mod p\]
är lösbar om och endast om \(p \equiv 1 \mod 8\).
#+end_src
** U6
#+begin_src latex
Vad är den största multiplikativa ordningen av ett heltal modulo 99?
Ange något sådant heltal av maximal multiplikativ ordning.
#+end_src
#+RESULTS:
#+begin_export latex
Vad är den största multiplikativa ordningen av ett heltal modulo 99?
Ange något sådant heltal av maximal multiplikativ ordning.
#+end_export
** U7
#+begin_src latex
Visa att \(n^3(n^{18}-1) \equiv 0 \mod 26\) för alla heltal \(n\).
#+end_src
* Slut
TATA54/TENTOR/.#tentaTATA5420240601sketch.org 0 → 120000
+ 1
− 0
View file @ f3e8a75a
jansn@jansn19-thinkpad.5341:1714983856
\ No newline at end of file
TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601.aux 0 → 100644
+ 6
− 0
View file @ f3e8a75a
\relax
\providecommand\babel@aux[2]{}
\@nameuse{bbl@beforestart}
\catcode `"\active
\babel@aux{swedish}{}
\gdef \@abspage@last{1}
TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601.log 0 → 100644
+ 213
− 0
View file @ f3e8a75a
This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.25 (TeX Live 2023) (preloaded format=pdflatex 2024.5.13) 20 MAY 2024 08:42
entering extended mode
restricted \write18 enabled.
file:line:error style messages enabled.
%&-line parsing enabled.
**tenta-TATA54-20240601.tex
(./tenta-TATA54-20240601.tex
LaTeX2e <2022-11-01> patch level 1
L3 programming layer <2023-02-22>
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls
Document Class: article 2022/07/02 v1.4n Standard LaTeX document class
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/size12.clo
File: size12.clo 2022/07/02 v1.4n Standard LaTeX file (size option)
)
\c@part=\count185
\c@section=\count186
\c@subsection=\count187
\c@subsubsection=\count188
\c@paragraph=\count189
\c@subparagraph=\count190
\c@figure=\count191
\c@table=\count192
\abovecaptionskip=\skip48
\belowcaptionskip=\skip49
\bibindent=\dimen140
)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/a4wide/a4wide.sty
Package: a4wide 1994/08/30
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ntgclass/a4.sty
Package: a4 2023/01/10 v1.2g A4 based page layout
))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/enumerate.sty
Package: enumerate 2015/07/23 v3.00 enumerate extensions (DPC)
\@enLab=\toks16
)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
Package: amsmath 2022/04/08 v2.17n AMS math features
\@mathmargin=\skip50
For additional information on amsmath, use the `?' option.
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty
Package: amstext 2021/08/26 v2.01 AMS text
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 generic functions
\@emptytoks=\toks17
\ex@=\dimen141
))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d Bold Symbols
\pmbraise@=\dimen142
)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
Package: amsopn 2022/04/08 v2.04 operator names
)
\inf@bad=\count193
LaTeX Info: Redefining \frac on input line 234.
\uproot@=\count194
\leftroot@=\count195
LaTeX Info: Redefining \overline on input line 399.
LaTeX Info: Redefining \colon on input line 410.
\classnum@=\count196
\DOTSCASE@=\count197
LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 496.
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 499.
LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 620.
\Mathstrutbox@=\box51
\strutbox@=\box52
LaTeX Info: Redefining \big on input line 722.
LaTeX Info: Redefining \Big on input line 723.
LaTeX Info: Redefining \bigg on input line 724.
LaTeX Info: Redefining \Bigg on input line 725.
\big@size=\dimen143
LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OML on input line 743.
LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OMS on input line 744.
\macc@depth=\count198
LaTeX Info: Redefining \bmod on input line 905.
LaTeX Info: Redefining \pmod on input line 910.
LaTeX Info: Redefining \smash on input line 940.
LaTeX Info: Redefining \relbar on input line 970.
LaTeX Info: Redefining \Relbar on input line 971.
\c@MaxMatrixCols=\count199
\dotsspace@=\muskip16
\c@parentequation=\count266
\dspbrk@lvl=\count267
\tag@help=\toks18
\row@=\count268
\column@=\count269
\maxfields@=\count270
\andhelp@=\toks19
\eqnshift@=\dimen144
\alignsep@=\dimen145
\tagshift@=\dimen146
\tagwidth@=\dimen147
\totwidth@=\dimen148
\lineht@=\dimen149
\@envbody=\toks20
\multlinegap=\skip51
\multlinetaggap=\skip52
\mathdisplay@stack=\toks21
LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2953.
LaTeX Info: Redefining \] on input line 2954.
)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
Package: amssymb 2013/01/14 v3.01 AMS font symbols
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
Package: amsfonts 2013/01/14 v3.01 Basic AMSFonts support
\symAMSa=\mathgroup4
\symAMSb=\mathgroup5
LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \hbar on input line 98.
LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
(Font) U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 106.
))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty
Package: amsthm 2020/05/29 v2.20.6
\thm@style=\toks22
\thm@bodyfont=\toks23
\thm@headfont=\toks24
\thm@notefont=\toks25
\thm@headpunct=\toks26
\thm@preskip=\skip53
\thm@postskip=\skip54
\thm@headsep=\skip55
\dth@everypar=\toks27
)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty
Package: inputenc 2021/02/14 v1.3d Input encoding file
\inpenc@prehook=\toks28
\inpenc@posthook=\toks29
)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty
Package: babel 2023/02/13 3.86 The Babel package
\babel@savecnt=\count271
\U@D=\dimen150
\l@unhyphenated=\language85
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/txtbabel.def)
\bbl@readstream=\read2
\bbl@dirlevel=\count272
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel-swedish/swedish.ldf
Language: swedish 2021/02/06 v2.3e Swedish support from the babel system
Package babel Info: Making " an active character on input line 90.
))
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/locale/sv/babel-swedish.tex
Package babel Info: Importing font and identification data for swedish
(babel) from babel-sv.ini. Reported on input line 11.
)
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdftex.def
File: l3backend-pdftex.def 2023-01-16 L3 backend support: PDF output (pdfTeX)
\l__color_backend_stack_int=\count273
\l__pdf_internal_box=\box53
)
(./tenta-TATA54-20240601.aux)
\openout1 = `tenta-TATA54-20240601.aux'.
LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 17.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 17.
LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 17.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 17.
LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 17.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 17.
LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 17.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 17.
LaTeX Font Info: Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 17.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 17.
LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 17.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 17.
LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 17.
LaTeX Font Info: ... okay on input line 17.
LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+msa on input line 33.
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
File: umsa.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols A
)
LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+msb on input line 33.
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
File: umsb.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols B
) [1
{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] (./tenta-TATA54-20240601.a
ux) )
Here is how much of TeX's memory you used:
2955 strings out of 476041
47074 string characters out of 5793174
1858388 words of memory out of 6000000
23409 multiletter control sequences out of 15000+600000
518787 words of font info for 57 fonts, out of 8000000 for 9000
1137 hyphenation exceptions out of 8191
56i,5n,62p,244b,167s stack positions out of 10000i,1000n,20000p,200000b,200000s
</usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmbx12.pfb><
/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmex10.pfb></usr/s
hare/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi10.pfb></usr/share/t
exlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi12.pfb></usr/share/texlive
/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi6.pfb></usr/share/texlive/texmf-
dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi8.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fo
nts/type1/public/amsfonts/cm/cmr10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/typ
e1/public/amsfonts/cm/cmr12.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/publ
ic/amsfonts/cm/cmr8.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfo
nts/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm
/cmsy8.pfb>
Output written on tenta-TATA54-20240601.pdf (1 page, 118013 bytes).
PDF statistics:
63 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
37 compressed objects within 1 object stream
0 named destinations out of 1000 (max. 500000)
1 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)
TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601.pdf 0 → 100644
+ 0
− 0
View file @ f3e8a75a
File added
TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601.tex 0 → 100644
+ 98
− 0
View file @ f3e8a75a
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
%\usepackage{times}
%\usepackage{euler}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[swedish]{babel}
\newcommand{\sgd}{\mathrm{sgd}}
\newcommand{\set}[1]{\left\{{#1}\right\}}
\newcommand{\vek}[1]{\boldsymbol{#1}}
\newcommand\setsuchas[2]{\left\{\,{#1}\,\vrule\,{#2}\,\right\}}
\newcommand{\Z}{\boldsymbol{Z}}
\newcommand{\legendre}[2]{\genfrac{(}{)}{}{}{#1}{#2}}
\newcommand{\divides}[2]{{#1} \lvert {#2}}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\noindent{
Talteori 6hp, Kurskod TATA54, Provkod TEN1 \\
1 juni 2024 \\
LINKÖPINGS UNIVERSITET\\
Matematiska Institutionen\\
Examinator: Jan Snellman}
\bigskip
Alla problem ger maximalt 3 poäng. Full poäng kräver fullständig lösning.
8p räcker för betyg 3, 11p för betyg 4, 14p för betyg 5.
\medskip
{\small{Med \(\mu\) avses Möbiusfunktionen, den multiplikativa funktion som uppfyller
\(\mu(1)=1\), \(\mu(p)=-1\) för \(p\) primtal, och \(\mu(n)=0\) för alla \(n>1\) som
delas av kvadraten av något primtal. Med \(\phi\) avses Eulers phi-funktion,
som räknar antalet multiplikativt inverterbara kongruensklasser modulo \(n\).}}
\medskip
\begin{enumerate}[1)]
\item Hitta alla lösningar till
\begin{displaymath}
x^5 +2x +3 \equiv 0 \mod 27
\end{displaymath}
och bestäm \textbf{antalet} sådana lösningar modulo 81.
\item Hitta alla rationella punkter på kurvan
\begin{displaymath}
x^2 -7y^2 - 1 = 0
\end{displaymath}
\item
Ange explicit två olika punkter på kurvan
\begin{displaymath}
(x^2 -7y^2 - 1)(x^2-7y^2+1)=0
\end{displaymath}
vars koordinater är positiva heltal; beskriv alla övriga
sådana punkter.
\item
Låt \(\tau(n)\) beteckna antalet positiva delare till heltalet \(n\).
Visa att
\[
\sum_{\divides{k}{n}} \tau(k)
= \prod_{j=1}^r \binom{a_j + 2}{2}
\]
då \(n\) har primfaktoriseringen \(n=\prod_{j=1}^r p_j^{a_j}\).
Visa även att
\[
\sum_{k=1}^n \tau(k) =
\sum_{k=1}^n \left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor
\]
\item
Låt \(p\) vara ett udda primtal. Visa att ekvationen
\[ x^4 \equiv -1 \mod p\]
är lösbar om och endast om \(p \equiv 1 \mod 8\).
\item Vad är den största multiplikativa ordningen
av ett heltal modulo 99?
Ange något sådant heltal av maximal multiplikativ ordning.
\item Visa att \(n^3(n^{18}-1) \equiv 0 \mod 26\)
för alla heltal \(n\).
\end{enumerate}
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601.tex~ 0 → 100644
+ 97
− 0
View file @ f3e8a75a
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
%\usepackage{times}
%\usepackage{euler}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\newcommand{\sgd}{\mathrm{sgd}}
\newcommand{\set}[1]{\left\{{#1}\right\}}
\newcommand{\vek}[1]{\boldsymbol{#1}}
\newcommand\setsuchas[2]{\left\{\,{#1}\,\vrule\,{#2}\,\right\}}
\newcommand{\Z}{\boldsymbol{Z}}
\newcommand{\legendre}[2]{\genfrac{(}{)}{}{}{#1}{#2}}
\newcommand{\divides}[2]{{#1} \lvert {#2}}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\noindent{
Talteori 6hp, Kurskod TATA54, Provkod TEN1 \\
1 juni 2024 \\
LINKÖPINGS UNIVERSITET\\
Matematiska Institutionen\\
Examinator: Jan Snellman}
\bigskip
Alla problem ger maximalt 3 poäng. Full poäng kräver fullständig lösning.
8p räcker för betyg 3, 11p för betyg 4, 14p för betyg 5.
\medskip
{\small{Med \(\mu\) avses Möbiusfunktionen, den multiplikativa funktion som uppfyller
\(\mu(1)=1\), \(\mu(p)=-1\) för \(p\) primtal, och \(\mu(n)=0\) för alla \(n>1\) som
delas av kvadraten av något primtal. Med \(\phi\) avses Eulers phi-funktion,
som räknar antalet multiplikativt inverterbara kongruensklasser modulo \(n\).}}
\medskip
\begin{enumerate}[1)]
\item Hitta alla lösningar till
\begin{displaymath}
x^5 +2x +3 \equiv 0 \mod 27
\end{displaymath}
och bestäm \textbf{antalet} sådana lösningar modulo 81.
\item Hitta alla rationella punkter på kurvan
\begin{displaymath}
x^2 -7y^2 - 1 = 0
\end{displaymath}
\item
Ange explicit två olika punkter på kurvan
\begin{displaymath}
(x^2 -7y^2 - 1)(x^2-7y^2+1)=0
\end{displaymath}
vars koordinater är positiva heltal; beskriv alla övriga
sådana punkter.
\item
Låt \(\tau(n)\) beteckna antalet positiva delare till heltalet \(n\).
Visa att
\[
\sum_{\divides{k}{n}} \tau(k)
= \prod_{j=1}^r \binom{a_j + 2}{2}
\]
då \(n\) har primfaktoriseringen \(n=\prod_{j=1}^r p_j^{a_j}\).
Visa även att
\[
\sum_{k=1}^n \tau(k) =
\sum_{k=1}^n \left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor
\]
\item
Låt \(p\) vara ett udda primtal. Visa att ekvationen
\[ x^4 \equiv -1 \mod p\]
är lösbar om och endast om \(p \equiv 1 \mod 8\).
\item Vad är den största multiplikativa ordningen
av ett heltal modulo 99?
Ange något sådant heltal av maximal multiplikativ ordning.
\item Visa att \(n^3(n^{18}-1) \equiv 0 \mod 26\)
för alla heltal \(n\).
\end{enumerate}
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
TATA54/TENTOR/texput.log 0 → 100644
+ 22
− 0
View file @ f3e8a75a
This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.25 (TeX Live 2023) (preloaded format=pdflatex 2024.5.13) 20 MAY 2024 08:40
entering extended mode
restricted \write18 enabled.
file:line:error style messages enabled.
%&-line parsing enabled.
**#tentaTATA5420240601.tex#.tex
! Emergency stop.
<*> #tentaTATA5420240601.tex#.tex
*** (job aborted, file error in nonstop mode)
Here is how much of TeX's memory you used:
3 strings out of 476041
121 string characters out of 5793174
1849388 words of memory out of 6000000
20559 multiletter control sequences out of 15000+600000
512287 words of font info for 32 fonts, out of 8000000 for 9000
1137 hyphenation exceptions out of 8191
0i,0n,0p,1b,6s stack positions out of 10000i,1000n,20000p,200000b,200000s
! ==> Fatal error occurred, no output PDF file produced!
0% or .
You are about to add 0 people to the discussion. Proceed with caution.
Finish editing this message first!
Please register or to comment