diff --git a/TATA54/TENTOR/#tentaTATA5420240601.tex# b/TATA54/TENTOR/#tentaTATA5420240601.tex#
index 691177b73af97c667e1a81573d3323e41f7430c5..f0ef9302e0c3b69210ab507c88cb38983e2cefb1 100644
--- a/TATA54/TENTOR/#tentaTATA5420240601.tex#
+++ b/TATA54/TENTOR/#tentaTATA5420240601.tex#
@@ -38,41 +38,50 @@ som räknar antalet multiplikativt inverterbara kongruensklasser modulo \(n\).}}
\begin{enumerate}[1)]
- \item Hitta alla lösningar till
- \begin{displaymath}
- x^5 +2x +3 \equiv 0 \mod 81
- \end{displaymath}
-
-
-
- \item Bestäm en primitiv rot modulo 7, och hitta sedan
- alla heltalslösningar till
- \begin{displaymath}
- x^x \equiv x \mod 7
- \end{displaymath}
- (Obs: \(19^{19} \equiv 19 \mod 7\) och \(19 \equiv 5 \mod 7\),
- men \(5^5 \equiv 3 \mod 7\).)
- \item Bevisa att
- \begin{math}
- \sum_{\divides{d}{n}} \phi(d)=n
- \end{math}
- och med hjälp av detta att
- \begin{math}
- \sum_{\divides{d}{n}} d\mu(n/d)=\phi(n).
- \end{math}
- (Du behöver inte visa att \(\phi\) och \(\mu\) är multiplikativa).
- \item Ange alla udda primtal \(p\) så att kongruensen \(x^2 \equiv 11 \mod p\)
- är lösbar.
-
- \item Hitta den lösning \((x,y)\) i positiva heltal till
- \begin{displaymath}
- x^2-11y^2=1
- \end{displaymath}
- som ligger närmast origo. Hitta sedan en annan lösning i positiva heltal.
- Ge sedan en rationell approximation till \(\sqrt{11}\) med absolutfel \(<10^{-4}\).
-
- \item Skriv 87 som en summa av fyra kvadrater.
- Visa sedan att det inte går med tre.
+\item Hitta alla lösningar till
+ \begin{displaymath}
+ x^5 +2x +3 \equiv 0 \mod 27
+ \end{displaymath}
+ och bestäm \textbf{antalet} sådana lösningar modulo 81.
+
+\item Hitta alla rationella punkter på kurvan
+ \begin{displaymath}
+ x^2 -7y^2 - 1 = 0
+ \end{displaymath}
+
+\item
+ Ange explicit två olika punkter på kurvan
+ \begin{displaymath}
+ (x^2 -7y^2 - 1)(x^2-7y^2+1)=0
+ \end{displaymath}
+ vars koordinater är positiva heltal; beskriv alla övriga
+ sådana punkter.
+
+\item
+ LÃ¥t \(\tau(n)\) beteckna antalet positiva delare till heltalet \(n\).
+ Visa att
+ \[
+ \sum_{\divides{k}{n}} \tau(k)
+ = \prod_{j=1}^r \binom{a_j + 2}{2}
+ \]
+ då \(n\) har primfaktoriseringen \(n=\prod_{j=1}^r p_j^{a_j}\).
+ Visa även att
+ \[
+ \sum_{k=1}^n \tau(k) =
+ \sum_{k=1}^n \left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor
+ \]
+
+ \item
+ LÃ¥t \(p\) vara ett udda primtal. Visa att ekvationen
+ \[ x^4 \equiv -1 \mod p\]
+ är lösbar om och endast om \(p \equiv 1 \mod 8\).
+
+\item Vad är den största multiplikativa ordningen
+ av ett heltal modulo 99?
+ Ange något sådant heltal av maximal multiplikativ ordning.
+
+\item Visa att \(n^3(n^{18}-1) \equiv 0 \mod 26\)
+ för alla heltal \(n\).
\end{enumerate}
diff --git a/TATA54/TENTOR/#tentaTATA5420240601sketch.org# b/TATA54/TENTOR/#tentaTATA5420240601sketch.org#
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..b6a290e2bfd7f4b574e22fabb5b5a84427135172
--- /dev/null
+++ b/TATA54/TENTOR/#tentaTATA5420240601sketch.org#
@@ -0,0 +1,161 @@
+#+title: TATA54 tenta 20240601, lösningskiss
+#+author: Jan Snellman
+
+* Preliminärt
+7 uppgifter, 3p för varje. Försöker täcka
+- Kongruensräkning
+- Hensellyft
+- Kvadratisk reciprocite
+- Kedjebråk
+- Pell eller Pytagoranska tripplar
+
+
+* Gemensamm kod
+#+begin_src sage :session :export none
+def H_L_tree(f, p: int, r: int):
+ vert = [(0,0)]
+ for j in range(1,r+1):
+ fj = f.change_ring(Integers(p^j))
+ fzj = fj.roots(multiplicities=False)
+ vert += [(z,j) for z in fzj]
+ return DiGraph([vert,
+ lambda u,v: (u[1] == 1 and v[1] == 0)
+ or
+ ( (u[1] == v[1]+1) and ((u[0] - v[0]) % p^v[1] ==0) )
+ ])
+#+end_src
+
+#+RESULTS:
+
+#+begin_src latex
+ \newcommand{\QQ}{\mathbf{Q}}
+ \newcommand{\ZZ}{\mathbf{Z}}
+#+end_src
+* Uppgifterna
+** U1
+#+begin_src latex
+ Hitta alla lösningar till
+ \begin{displaymath}
+ x^5 +2x +3 \equiv 0 \mod 27
+ \end{displaymath}
+#+end_src
+
+
+#+begin_src sage :session
+ p = 3
+ k = 3
+ q = p^k
+ R.<x> = ZZ[]
+ f = x^5 + 2*x + 3
+ f.roots(Integers(q),multiplicities=False)
+
+#+end_src
+
+#+RESULTS:
+: [12, 26, 22]
+
+#+begin_src sage :session :results file :file "u1.png"
+ H_L_tree(f,p,k).show(layout='tree')
+#+end_src
+
+#+RESULTS:
+[[file:u1.png]]
+
+
+** U2
+
+
+#+begin_src latex
+ Hitta alla rationella punkter på kurvan
+ \begin{displaymath}
+ x^2 -7y^2 - 1 = 0
+ \end{displaymath}
+#+end_src
+
+Parametrisera med lutning, rationell punkt (-1,0)
+
+
+** U3
+
+#+begin_src latex
+ Ange explicit två punkter på kurvan
+ \begin{displaymath}
+ (x^2 -7y^2 - 1)(x^2-7y^2+1)=0
+ \end{displaymath}
+ vars koordinater är positiva heltal; beskriv alla övriga sådana.
+#+end_src
+
+Antingen lösning till Pell x^2-7y^2=1 eller till negativa Pell x^2-7y^2=-1.
+
+#+begin_src sage :session
+ d = 7
+ cfd = continued_fraction(sqrt(d))
+ cfd
+ for j in range(15):
+ co = cfd.convergent(j)
+ y = co.denominator()
+ x = co.numerator()
+ print(j,co,x,y,x^2-d*y^2)
+#+end_src
+
+#+RESULTS:
+#+begin_example
+[2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, ...]
+0 2 2 1 -3
+1 3 3 1 2
+2 5/2 5 2 -3
+3 8/3 8 3 1
+4 37/14 37 14 -3
+5 45/17 45 17 2
+6 82/31 82 31 -3
+7 127/48 127 48 1
+8 590/223 590 223 -3
+9 717/271 717 271 2
+10 1307/494 1307 494 -3
+11 2024/765 2024 765 1
+12 9403/3554 9403 3554 -3
+13 11427/4319 11427 4319 2
+14 20830/7873 20830 7873 -3
+#+end_example
+
+
+** U4
+#+begin_src latex
+ LÃ¥t \(\tau(n)\) beteckna antalet positiva delare till heltalet \(n\).
+ Visa att
+ \[
+ \sum_{\divides{k}{n}} \tau(k)
+ = \prod_{j=1}^r \binom{a_j + 2}{2}
+ \]
+ då \(n\) har primfaktoriseringen \(n=\prod_{j=1}^r p_j^{a_j}\).
+ Visa även att
+ \[
+ \sum_{k=1}^n \tau(k) = \sum_{k=1}^n \left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor
+ \]
+#+end_src
+
+
+** U5
+#+begin_src latex
+ LÃ¥t \(p\) vara ett udda primtal. Visa att ekvationen
+ \[ x^4 \equiv -1 \mod p\]
+ är lösbar om och endast om \(p \equiv 1 \mod 8\).
+#+end_src
+
+** U6
+#+begin_src latex
+ Vad är den största multiplikativa ordningen av ett heltal modulo 99?
+ Ange något sådant heltal av maximal multiplikativ ordning.
+#+end_src
+
+#+RESULTS:
+#+begin_export latex
+Vad är den största multiplikativa ordningen av ett heltal modulo 99?
+Ange något sådant heltal av maximal multiplikativ ordning.
+#+end_export
+
+** U7
+#+begin_src latex
+ Visa att \(n^3(n^{18}-1) \equiv 0 \mod 26\) för alla heltal \(n\).
+#+end_src
+* Slut
diff --git a/TATA54/TENTOR/.#tentaTATA5420240601sketch.org b/TATA54/TENTOR/.#tentaTATA5420240601sketch.org
new file mode 120000
index 0000000000000000000000000000000000000000..091951a9ef90123a83b22e4628173409c895ca14
--- /dev/null
+++ b/TATA54/TENTOR/.#tentaTATA5420240601sketch.org
@@ -0,0 +1 @@
+jansn@jansn19-thinkpad.5341:1714983856
\ No newline at end of file
diff --git a/TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601.aux b/TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601.aux
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..d9fae547ff9ccbf0ba8740bb229cd301b05a79ba
--- /dev/null
+++ b/TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601.aux
@@ -0,0 +1,6 @@
+\relax
+\providecommand\babel@aux[2]{}
+\@nameuse{bbl@beforestart}
+\catcode `"\active
+\babel@aux{swedish}{}
+\gdef \@abspage@last{1}
diff --git a/TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601.log b/TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601.log
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..e83f5c756dd69980fde001f47fa11bcddf3bfedf
--- /dev/null
+++ b/TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601.log
@@ -0,0 +1,213 @@
+This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.25 (TeX Live 2023) (preloaded format=pdflatex 2024.5.13) 20 MAY 2024 08:42
+entering extended mode
+ restricted \write18 enabled.
+ file:line:error style messages enabled.
+ %&-line parsing enabled.
+**tenta-TATA54-20240601.tex
+(./tenta-TATA54-20240601.tex
+LaTeX2e <2022-11-01> patch level 1
+L3 programming layer <2023-02-22>
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls
+Document Class: article 2022/07/02 v1.4n Standard LaTeX document class
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/size12.clo
+File: size12.clo 2022/07/02 v1.4n Standard LaTeX file (size option)
+)
+\c@part=\count185
+\c@section=\count186
+\c@subsection=\count187
+\c@subsubsection=\count188
+\c@paragraph=\count189
+\c@subparagraph=\count190
+\c@figure=\count191
+\c@table=\count192
+\abovecaptionskip=\skip48
+\belowcaptionskip=\skip49
+\bibindent=\dimen140
+)
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/a4wide/a4wide.sty
+Package: a4wide 1994/08/30
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ntgclass/a4.sty
+Package: a4 2023/01/10 v1.2g A4 based page layout
+))
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/enumerate.sty
+Package: enumerate 2015/07/23 v3.00 enumerate extensions (DPC)
+\@enLab=\toks16
+)
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
+Package: amsmath 2022/04/08 v2.17n AMS math features
+\@mathmargin=\skip50
+
+For additional information on amsmath, use the `?' option.
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty
+Package: amstext 2021/08/26 v2.01 AMS text
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
+File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 generic functions
+\@emptytoks=\toks17
+\ex@=\dimen141
+))
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
+Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d Bold Symbols
+\pmbraise@=\dimen142
+)
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
+Package: amsopn 2022/04/08 v2.04 operator names
+)
+\inf@bad=\count193
+LaTeX Info: Redefining \frac on input line 234.
+\uproot@=\count194
+\leftroot@=\count195
+LaTeX Info: Redefining \overline on input line 399.
+LaTeX Info: Redefining \colon on input line 410.
+\classnum@=\count196
+\DOTSCASE@=\count197
+LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 496.
+LaTeX Info: Redefining \dots on input line 499.
+LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 620.
+\Mathstrutbox@=\box51
+\strutbox@=\box52
+LaTeX Info: Redefining \big on input line 722.
+LaTeX Info: Redefining \Big on input line 723.
+LaTeX Info: Redefining \bigg on input line 724.
+LaTeX Info: Redefining \Bigg on input line 725.
+\big@size=\dimen143
+LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OML on input line 743.
+LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OMS on input line 744.
+\macc@depth=\count198
+LaTeX Info: Redefining \bmod on input line 905.
+LaTeX Info: Redefining \pmod on input line 910.
+LaTeX Info: Redefining \smash on input line 940.
+LaTeX Info: Redefining \relbar on input line 970.
+LaTeX Info: Redefining \Relbar on input line 971.
+\c@MaxMatrixCols=\count199
+\dotsspace@=\muskip16
+\c@parentequation=\count266
+\dspbrk@lvl=\count267
+\tag@help=\toks18
+\row@=\count268
+\column@=\count269
+\maxfields@=\count270
+\andhelp@=\toks19
+\eqnshift@=\dimen144
+\alignsep@=\dimen145
+\tagshift@=\dimen146
+\tagwidth@=\dimen147
+\totwidth@=\dimen148
+\lineht@=\dimen149
+\@envbody=\toks20
+\multlinegap=\skip51
+\multlinetaggap=\skip52
+\mathdisplay@stack=\toks21
+LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2953.
+LaTeX Info: Redefining \] on input line 2954.
+)
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
+Package: amssymb 2013/01/14 v3.01 AMS font symbols
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
+Package: amsfonts 2013/01/14 v3.01 Basic AMSFonts support
+\symAMSa=\mathgroup4
+\symAMSb=\mathgroup5
+LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \hbar on input line 98.
+LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
+(Font) U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 106.
+))
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty
+Package: amsthm 2020/05/29 v2.20.6
+\thm@style=\toks22
+\thm@bodyfont=\toks23
+\thm@headfont=\toks24
+\thm@notefont=\toks25
+\thm@headpunct=\toks26
+\thm@preskip=\skip53
+\thm@postskip=\skip54
+\thm@headsep=\skip55
+\dth@everypar=\toks27
+)
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty
+Package: inputenc 2021/02/14 v1.3d Input encoding file
+\inpenc@prehook=\toks28
+\inpenc@posthook=\toks29
+)
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty
+Package: babel 2023/02/13 3.86 The Babel package
+\babel@savecnt=\count271
+\U@D=\dimen150
+\l@unhyphenated=\language85
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/txtbabel.def)
+\bbl@readstream=\read2
+\bbl@dirlevel=\count272
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel-swedish/swedish.ldf
+Language: swedish 2021/02/06 v2.3e Swedish support from the babel system
+Package babel Info: Making " an active character on input line 90.
+))
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/locale/sv/babel-swedish.tex
+Package babel Info: Importing font and identification data for swedish
+(babel) from babel-sv.ini. Reported on input line 11.
+)
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdftex.def
+File: l3backend-pdftex.def 2023-01-16 L3 backend support: PDF output (pdfTeX)
+\l__color_backend_stack_int=\count273
+\l__pdf_internal_box=\box53
+)
+(./tenta-TATA54-20240601.aux)
+\openout1 = `tenta-TATA54-20240601.aux'.
+
+LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 17.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 17.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 17.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 17.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 17.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 17.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 17.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 17.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 17.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 17.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 17.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 17.
+LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 17.
+LaTeX Font Info: ... okay on input line 17.
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+msa on input line 33.
+
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
+File: umsa.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols A
+)
+LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+msb on input line 33.
+
+
+(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
+File: umsb.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols B
+) [1
+
+{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] (./tenta-TATA54-20240601.a
+ux) )
+Here is how much of TeX's memory you used:
+ 2955 strings out of 476041
+ 47074 string characters out of 5793174
+ 1858388 words of memory out of 6000000
+ 23409 multiletter control sequences out of 15000+600000
+ 518787 words of font info for 57 fonts, out of 8000000 for 9000
+ 1137 hyphenation exceptions out of 8191
+ 56i,5n,62p,244b,167s stack positions out of 10000i,1000n,20000p,200000b,200000s
+</usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmbx12.pfb><
+/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmex10.pfb></usr/s
+hare/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi10.pfb></usr/share/t
+exlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi12.pfb></usr/share/texlive
+/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi6.pfb></usr/share/texlive/texmf-
+dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi8.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fo
+nts/type1/public/amsfonts/cm/cmr10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/typ
+e1/public/amsfonts/cm/cmr12.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/publ
+ic/amsfonts/cm/cmr8.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfo
+nts/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm
+/cmsy8.pfb>
+Output written on tenta-TATA54-20240601.pdf (1 page, 118013 bytes).
+PDF statistics:
+ 63 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
+ 37 compressed objects within 1 object stream
+ 0 named destinations out of 1000 (max. 500000)
+ 1 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)
+
diff --git a/TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601.pdf b/TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601.pdf
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..853272c75ca26472195be3d65d914498593c9134
Binary files /dev/null and b/TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601.pdf differ
diff --git a/TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601.tex b/TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601.tex
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..775f11077a2530537d4f0d5677bd747e18c36d21
--- /dev/null
+++ b/TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601.tex
@@ -0,0 +1,98 @@
+\documentclass[12pt,a4paper]{article}
+%\usepackage{times}
+%\usepackage{euler}
+\usepackage{a4wide}
+\usepackage{enumerate}
+\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[swedish]{babel}
+\newcommand{\sgd}{\mathrm{sgd}}
+\newcommand{\set}[1]{\left\{{#1}\right\}}
+\newcommand{\vek}[1]{\boldsymbol{#1}}
+\newcommand\setsuchas[2]{\left\{\,{#1}\,\vrule\,{#2}\,\right\}}
+\newcommand{\Z}{\boldsymbol{Z}}
+\newcommand{\legendre}[2]{\genfrac{(}{)}{}{}{#1}{#2}}
+\newcommand{\divides}[2]{{#1} \lvert {#2}}
+\pagestyle{empty}
+\begin{document}
+\noindent{
+Talteori 6hp, Kurskod TATA54, Provkod TEN1 \\
+1 juni 2024 \\
+LINKÖPINGS UNIVERSITET\\
+Matematiska Institutionen\\
+Examinator: Jan Snellman}
+
+\bigskip
+
+
+Alla problem ger maximalt 3 poäng. Full poäng kräver fullständig lösning.
+8p räcker för betyg 3, 11p för betyg 4, 14p för betyg 5.
+
+\medskip
+
+{\small{Med \(\mu\) avses Möbiusfunktionen, den multiplikativa funktion som uppfyller
+\(\mu(1)=1\), \(\mu(p)=-1\) för \(p\) primtal, och \(\mu(n)=0\) för alla \(n>1\) som
+delas av kvadraten av något primtal. Med \(\phi\) avses Eulers phi-funktion,
+som räknar antalet multiplikativt inverterbara kongruensklasser modulo \(n\).}}
+
+\medskip
+
+\begin{enumerate}[1)]
+
+\item Hitta alla lösningar till
+ \begin{displaymath}
+ x^5 +2x +3 \equiv 0 \mod 27
+ \end{displaymath}
+ och bestäm \textbf{antalet} sådana lösningar modulo 81.
+
+\item Hitta alla rationella punkter på kurvan
+ \begin{displaymath}
+ x^2 -7y^2 - 1 = 0
+ \end{displaymath}
+
+\item
+ Ange explicit två olika punkter på kurvan
+ \begin{displaymath}
+ (x^2 -7y^2 - 1)(x^2-7y^2+1)=0
+ \end{displaymath}
+ vars koordinater är positiva heltal; beskriv alla övriga
+ sådana punkter.
+
+\item
+ LÃ¥t \(\tau(n)\) beteckna antalet positiva delare till heltalet \(n\).
+ Visa att
+ \[
+ \sum_{\divides{k}{n}} \tau(k)
+ = \prod_{j=1}^r \binom{a_j + 2}{2}
+ \]
+ då \(n\) har primfaktoriseringen \(n=\prod_{j=1}^r p_j^{a_j}\).
+ Visa även att
+ \[
+ \sum_{k=1}^n \tau(k) =
+ \sum_{k=1}^n \left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor
+ \]
+
+ \item
+ LÃ¥t \(p\) vara ett udda primtal. Visa att ekvationen
+ \[ x^4 \equiv -1 \mod p\]
+ är lösbar om och endast om \(p \equiv 1 \mod 8\).
+
+\item Vad är den största multiplikativa ordningen
+ av ett heltal modulo 99?
+ Ange något sådant heltal av maximal multiplikativ ordning.
+
+\item Visa att \(n^3(n^{18}-1) \equiv 0 \mod 26\)
+ för alla heltal \(n\).
+\end{enumerate}
+
+
+
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: t
+%%% End:
+
+
diff --git a/TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601.tex~ b/TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601.tex~
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..f0ef9302e0c3b69210ab507c88cb38983e2cefb1
--- /dev/null
+++ b/TATA54/TENTOR/tenta-TATA54-20240601.tex~
@@ -0,0 +1,97 @@
+\documentclass[12pt,a4paper]{article}
+%\usepackage{times}
+%\usepackage{euler}
+\usepackage{a4wide}
+\usepackage{enumerate}
+\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
+\usepackage[latin1]{inputenc}
+\newcommand{\sgd}{\mathrm{sgd}}
+\newcommand{\set}[1]{\left\{{#1}\right\}}
+\newcommand{\vek}[1]{\boldsymbol{#1}}
+\newcommand\setsuchas[2]{\left\{\,{#1}\,\vrule\,{#2}\,\right\}}
+\newcommand{\Z}{\boldsymbol{Z}}
+\newcommand{\legendre}[2]{\genfrac{(}{)}{}{}{#1}{#2}}
+\newcommand{\divides}[2]{{#1} \lvert {#2}}
+\pagestyle{empty}
+\begin{document}
+\noindent{
+Talteori 6hp, Kurskod TATA54, Provkod TEN1 \\
+1 juni 2024 \\
+LINKÖPINGS UNIVERSITET\\
+Matematiska Institutionen\\
+Examinator: Jan Snellman}
+
+\bigskip
+
+
+Alla problem ger maximalt 3 poäng. Full poäng kräver fullständig lösning.
+8p räcker för betyg 3, 11p för betyg 4, 14p för betyg 5.
+
+\medskip
+
+{\small{Med \(\mu\) avses Möbiusfunktionen, den multiplikativa funktion som uppfyller
+\(\mu(1)=1\), \(\mu(p)=-1\) för \(p\) primtal, och \(\mu(n)=0\) för alla \(n>1\) som
+delas av kvadraten av något primtal. Med \(\phi\) avses Eulers phi-funktion,
+som räknar antalet multiplikativt inverterbara kongruensklasser modulo \(n\).}}
+
+\medskip
+
+\begin{enumerate}[1)]
+
+\item Hitta alla lösningar till
+ \begin{displaymath}
+ x^5 +2x +3 \equiv 0 \mod 27
+ \end{displaymath}
+ och bestäm \textbf{antalet} sådana lösningar modulo 81.
+
+\item Hitta alla rationella punkter på kurvan
+ \begin{displaymath}
+ x^2 -7y^2 - 1 = 0
+ \end{displaymath}
+
+\item
+ Ange explicit två olika punkter på kurvan
+ \begin{displaymath}
+ (x^2 -7y^2 - 1)(x^2-7y^2+1)=0
+ \end{displaymath}
+ vars koordinater är positiva heltal; beskriv alla övriga
+ sådana punkter.
+
+\item
+ LÃ¥t \(\tau(n)\) beteckna antalet positiva delare till heltalet \(n\).
+ Visa att
+ \[
+ \sum_{\divides{k}{n}} \tau(k)
+ = \prod_{j=1}^r \binom{a_j + 2}{2}
+ \]
+ då \(n\) har primfaktoriseringen \(n=\prod_{j=1}^r p_j^{a_j}\).
+ Visa även att
+ \[
+ \sum_{k=1}^n \tau(k) =
+ \sum_{k=1}^n \left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor
+ \]
+
+ \item
+ LÃ¥t \(p\) vara ett udda primtal. Visa att ekvationen
+ \[ x^4 \equiv -1 \mod p\]
+ är lösbar om och endast om \(p \equiv 1 \mod 8\).
+
+\item Vad är den största multiplikativa ordningen
+ av ett heltal modulo 99?
+ Ange något sådant heltal av maximal multiplikativ ordning.
+
+\item Visa att \(n^3(n^{18}-1) \equiv 0 \mod 26\)
+ för alla heltal \(n\).
+\end{enumerate}
+
+
+
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: t
+%%% End:
+
+
diff --git a/TATA54/TENTOR/texput.log b/TATA54/TENTOR/texput.log
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..ea18a22e727a8ab83627c18564c9debf2a65028d
--- /dev/null
+++ b/TATA54/TENTOR/texput.log
@@ -0,0 +1,22 @@
+This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.25 (TeX Live 2023) (preloaded format=pdflatex 2024.5.13) 20 MAY 2024 08:40
+entering extended mode
+ restricted \write18 enabled.
+ file:line:error style messages enabled.
+ %&-line parsing enabled.
+**#tentaTATA5420240601.tex#.tex
+
+! Emergency stop.
+<*> #tentaTATA5420240601.tex#.tex
+
+*** (job aborted, file error in nonstop mode)
+
+
+Here is how much of TeX's memory you used:
+ 3 strings out of 476041
+ 121 string characters out of 5793174
+ 1849388 words of memory out of 6000000
+ 20559 multiletter control sequences out of 15000+600000
+ 512287 words of font info for 32 fonts, out of 8000000 for 9000
+ 1137 hyphenation exceptions out of 8191
+ 0i,0n,0p,1b,6s stack positions out of 10000i,1000n,20000p,200000b,200000s
+! ==> Fatal error occurred, no output PDF file produced!