Newer
Older
** Ämnesområde
Matematik
** Poäng
6 hp
** Examinator
[[https://liu.se/medarbetare/jansn19][Jan Snellman]] (se även min
[[https://jansn19.gitlab-pages.liu.se/jan-snellman-hemsida/][hemsida]])
Se [[https://cloud.timeedit.net/liu/web/schema/ri167XQQ538Z50Qm07065gZ6y2Y7306Q6Y43Y1.html][TimeEdit]]
Skriftlig tentamen.
| Utb. kod | Kursnamn | Datum | Tid | Ort | Anmälningsperiod |
| TATA54/TEN1 | Talteori | 2024-06-01 | 8-12 | Linköping | 2024-05-02 - 2024-05-22 |
| TATA54/TEN1 | Talteori | 2024-08-22 | 14-18 | Linköping | 2024-07-23 - 2024-08-12 |
* Allra senaste nytt VT2024 <<allra-senaste-nytt>>
** 2024-04-23
Jag pratade om "Eulers regel" som uttrycker kedjebråkskonvergenterna
q_n/p_n till [x_0;x_1,x_2,\dots] som rationella funktioner i
x_0,x_1,... Det står inget om det i kursboken, men wikipediasidan om
[[https://en.wikipedia.org/wiki/Continuant_(mathematics)][continuant]] beskriver satsen, och informationen där är tillräcklig för
att få till ett bevis. "Kontinuander" definieras med samma rekursion som den som
gäller för p_n och q_n, och sammanfaller med de första
täljarna och nämnarna, så måste vara samma. Den kombinatoriska
beskrivningen kan visas med induktion.
** 2024-04-22
Vi har två föreläsningar den kommande veckan, torsdag 24 april samt fredag 25 april.
Till på torsdag tittar ni på 12.3.1c, 12.2.2a (nedskalad till första 4), 12.3.4 (nedskalat till första 5, approximationsfel < 1/100).
Till på fredag 12.4.5b, 12.4.6b
** 2024-04-14
*** Uppgifter att räkna till nästa gång
12.2.1bf, 12.2.2cd, 12.2.3c, 12.2.11
*** Datorlaboration
Titta på [[file:labs/kedjebraklabweb.html][kedjebråkslabben]] och använd den för att göra 12.2.3df.
Hitta en formel för a(k,m) = [k;k,...,k] (längd m). Vad är
gränsvärdet av a(k,m) då m går mot oändligheten?
** 2024-04-07
*** Uppgifter att räkna till nästa gång
11.1.1d, 11.1.4, 11.1.25ab, 11.2.1cd, 11.2.2, 11.2.3,11.2.4
*** Beviset för kvadratisk reciprocitet
Jag stakade mig lite vid bevist för kvadratisk reciprocitet. Speciellt så oroade jag mig över
om det kunde finnas gitterpunkter (x,y) med x=(p-1)/2, (q-1)/2 < y <= (q/p)x.
Men det är enkelt att visa att (p-1)/2*q < (q-1)2 +1, så det går inte. Beviset håller!
** 2024-04-02
På fredag så räknar vi de uppgifter om diskreta logaritmer vi inte hann med förra gången.
** 2024-03-11
Jag har nu bokat om föreläsningarna till Fredagar kl 13-15 (fortfarande i kompakta rummet)
samt måndag 25 mars kl 13-15,
samt 25/4 13-15 och 20/5 13-15.
Det blir 10 tillfällen totalt, vilket bör räcka.
** 2024-03-06
Det verkar som fredagar kl 13-15 inte kolliderar med andra kurser, så jag planerar att flytta lektioner till den tiden.
Det är 8 sådana fredagar under perioden, så helst skall jag schemalägga tre tillfällen till.
Möjliga tider är måndag 25 mars kl 13-15, torsdag 25 april kl 13-15, måndag 20 maj kl 10-12 eller kl 13-15,
27-29 maj 10-12 eller 13-15.
** 2024-03-05
Det har framförts önskemål om att byta tid för lektionerna i period 4 för att undvika
kollision med kursen i optimeringslära.
För närvarande så är tiderna huvudsakligen onsdagar kl 10-12 samt torsdagar kl 13-15.
Mejla mig med önskemål på vilka av dessa tider som bör flyttas, och hur.
Jag har, vad jag kan se, ingen undervisning måndagar kl 10-12 eller fredagar kl 10-12, 13-15,
så dessa tider skulle fungera för mig.
Det rör sig om 11 tillfällen totalt.
** 2024-02-29
Till nästa lektion så tittar ni på uppgifterna
9.1.1d, 9.1.2d, 9.1.5b, 9.1.6d, 9.1.10, 9.1.20.
Till lektionen efter det (27 mars) så räknar ni
9.2.1d, 9.2.3e, 9.2.6, 9.3.3c, 9.3.8, 9.4.1, 9.4.2b, 9.4.3a, 9.4.9, 9.4.10.
(Vi kanske inte diskuterar ALLA dessa, men räkna så många ni kan/hinner).
** 2024-02-20
Till nästa lektion (27 feb) så tittar ni på uppgifterna
4.2.15, 4.2.16, 4.2.18, 4.4.2ab. Använd Hensels lemma vid behov.
Ni kan också använda
[[file:labs/HenselLyftLabHT2023web.html][Hensel-laborationen]].
För att förstå uppgift 4.2.18, titta på \(x^2-1\) modulo 2, lyft till
grad 5 eller 6.
#+NAME: H_L_tree
#+begin_src sage :session
def H_L_tree(f, p: int, r: int):
vert = [(0,0)]
for j in range(1,r+1):
fj = f.change_ring(Integers(p^j))
fzj = fj.roots(multiplicities=False)
vert += [(z,j) for z in fzj]
return DiGraph([vert,
lambda u,v: (u[1] == 1 and v[1] == 0)
or
( (u[1] == v[1]+1) and ((u[0] - v[0]) % p^v[1] ==0) )
])
#+end_src
#+begin_src sage :session :noweb yes :results graphics file :file "img/Henseluppgift.png" :exports graphics :cache yes
<<H_L_tree>>
p=2
r=6
R.<x> = ZZ[]
f = R(x^2 -1)
H_L_tree(f,p,r).plot(layout='tree')
#+end_src
** 2024-02-12
Till nästa lektion (20 feb) så tittar ni på uppgifterna
7.1.5, 7.2.1d, 7.2.8, 7.2.35, 7.4.23, 7.4.24
** 2024-02-07
Till nästa lektion (12 feb) så tittar ni på uppgifterna
4.1.5, 4.1.9b, 4.2.8c,4.3.3.
*Observera* att den lektionen hålls i P36, samtliga senare kommer
att vara i Kompakta rummet.
** 2024-01-30
- Till nästa gång så tittar ni på uppgifterna 3.3.10, 3.4.1c,3.4.20, 3.5.32,3.7.1c
- Dessutom: visa att om \(m,n\) relativt prima, \(m|a\), \(n|a\), så \(mn|a\).
- Det gick att flytta lektionerna till
[[https://use.mazemap.com/#v=1&config=liu¢er=15.577474,58.399570&zoom=18&sharepoitype=poi&sharepoi=1000928167&zlevel=2&campusid=742][Kompakta rummet]]
*** Tvillingfria primtal
Jag använde följande sagemath-kod för att hitta \((k,n)\) med
sgd(k,n)=1, sgd(k-2,n) > 1, sgd(k+2,n) >1, så att Dirichlets sats
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
#+name: tvfp
#+begin_src sage :session tvfps :exports code
def repr(n):
return [k for k in range(n) if gcd(k,n)==1]
def isolated(n):
rlist = repr(n)
return [k for k in rlist if gcd(k-2,n)>1 and gcd(k+2,n)>1]
def find_isolated(N):
for n in range(3,N):
if len(isolated(n)) > 0:
print(n, isolated(n))
#+end_src
#+RESULTS: tvfp
Körning visar att n=15, k=7 är minsta exemplet.
#+begin_src sage :session tvfp :results output :noweb yes :exports results
<<tvfp>>
find_isolated(40)
#+end_src
#+RESULTS:
: 15 [7, 8]
: 21 [5, 16]
: 30 [7, 23]
: 33 [13, 20]
: 35 [12, 23]
: 39 [11, 28]
** 2024-01-23
Till nästa gång så tittar ni på uppgifterna 1.5.18, 1.5.36, 3.1.6, 3.2.10.
** 2024-01-16
- Första föreläsningen, information om kursupplägget, kurslitteratur, tentamen.
- Pratade om [[file:lectures/swelecture0.pdf][talteori som matematisk disciplin]], mycket översiktligt.
- Började diskutera [[file:lectures/swelecture1.pdf][delbarhet och sgd]].
- Önskemål om information om vilka/vilket kapitel i kursboken en given
föreläsning är kopplad till, skall ordna.
- Vi kommer att gå igenom uppgifter
(hämtade från listan med [[rekommenderade-uppgifter][rekommenderade uppgifter]])
på vissa av lektionstillfällena, kanske första 45 minuterna. Annonseras här.
- Jag glömde att framföra följande förmaning: även om kursen examineras med en enda skriftlig
tentamen i juni så är det viktigt att studera kontinuerligt, och räkna uppgifter.
Försök att hinna med att skumma (läsa översiktligt, skippa detaljer)
igenom det avsnitt som skall gås igenom på föreläsningen
/innan/ densamma. Sedan, någon gång efter föreläsningen, bör ni läsa samma avsnitt en gång
till, nu med fokus på att förstå bevisen.
- Det går an att mejla mig med frågor om uppgifter eller kursen i stort.
Kursbok är [[https://www.prisjakt.nu/produkt.php?p=8083662][Elementary Number Theory]] av Kenneth Rosen.
#+CAPTION: Elementary Number Theory, Kenneth Rosen
#+NAME: Rosen_bild
[[file:img/Rosen6ed.png]]
Den sjätte upplagan är den senaste, men det finns flera olika tryckningar,
vilket inte påverkar innehållet.
Följande böcker är fritt tillgängliga på nätet. Kursboken är väldigt grundlig
och täcker kursinnehållet, men det kan ändå vara bra att se olika
framställningar.
- [[https://wstein.org/ent/][Elementary Number Theory]] av William Stein.
- [[https://hackmat.se/kurser/TATM54/booktot.pdf][Elementary Number Theory]] av Peter Hackman.
- [[https://math.libretexts.org/Bookshelves/Combinatorics_and_Discrete_Mathematics/Elementary_Number_Theory_(Raji)][An introduction in elementary number theory]] av Wissam Raji
- [[https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/ugradnumthy/Zinotes.pdf][The Gaussian integers]] av [[https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/][Keith Conrad]] behandlar just Gaussiska heltal, på ett
föredömligt sätt.
- Jag hänvisar till [[https://arxiv.org/abs/0809.2139][Constructing the Primitive Roots of Prime Powers]] av Nathan
Jolly för en metod att hitta primitiva rötter.
- Kompendium om [[file:literature/Fibonacci_Exposition.pdf][fibonaccitalen]].
*** Andra lämpliga böcker
- BAKER. A concise introduction to the theory of numbers.
- DAVENPORT. The higher arithmetic.
- DICKSON Introduction to the theory of numbers.
- HARDY and WRIGHT. Introduction to the theory of numbers. En riktig klassiker,
som även behandlar analytisk talteori. Valda avsnitt är elementära.
- IRELAND and ROSEN. A classical introduction to number theory. En lämplig
fortbildning efter denna kurs.
- LEVEQUE. Topics in number theory.
- SIERPINSKY. Elementary theory of numbers.
- SILVERMAN. A friendly introduction to number theory.
Kursen omfattar följande delar/kapitel av kursboken: 1.5, 2.1, 3, 4.1-4.4, 5.1,
6, 7.1-7.4, 9, 11.1-11.4, 12, 13.1-13.4,14. Jag kommer inte att föreläsa om
precis alla moment ovan, och jag kan komma att berätta om ämnen som inte
behandlas i dessa delar av kursboken. Tentamen kommer dock att testa kunskaper
från just dessa avsnitt.
*** Rekommenderade uppgifter <<rekommenderade-uppgifter>>
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
**** Kap 3
***** 3.1
1ab, 2f,6.
***** 3.2
2.
***** 3.3
1df,2ef,10,24,30,31
***** 3.4
1bc, 19*, 20*.
***** 3.5
1il, 2, 4c, 29cd,
32*, 34, 58ac.
***** 3.7
1cd
**** Kap 4
***** 4.1
4,5,7ab,9bc.
***** 4.2
1df, 8c, 9d.
***** 4.3
3,4.
***** 4.4
2ab.
**** Kap 5
***** 5.1
4ab.
**** Kap 6
***** 6.1
4,5,6,9,10,14,18,19,22,24,24,28,36,38*,41,48*,52.
***** 6.2
2,8,12,16ab.
***** 6.3
1d,6,7,22*
**** Kap 7
***** 7.1
2bc,5,8.
***** 7.2
1bd,2cd,8,34*,35,38*.
***** 7.3
3b,4,7,8,10,18,22**,28*,29cd.
***** 7.4
1bd,2be,14,22,23,24,30,31.
**** Kap 9
***** 9.1
1ad, 2cd, 5b, 6df, 8, 10, 20*,
22*.
***** 9.2
1d, 2d, 3e, 6.
***** 9.3
2,3c, 5c,6c, 8b, 10.
***** 9.4
1, 2b, 3a,
4, 9, 10, 19, 20*.
***** 9.5
2,3,10.
***** 9.6
1bcg, 4def, 13*, 14*.
**** Kap 11
***** 11.1
1d, 4, 25.
***** 11.2
1cd, 2, 4, 5.
***** 11.3
1ef, 5, 6.
***** 11.4
1, 2, 5, 6.
**** Kap 12
***** 12.2
1bf, 2cd, 3c, 4c.
***** 12.3
1c, 2a, 6*, 7.
***** 12.4
1c, 2c, 3b, 4a,
5b, 6b, 7b, 8, 10, 17.
***** 12.5
2.
**** Kap 13
***** 13.1
1, 2, 3, 8, 16.
***** 13.2
3, 4,
6*, 8, 10, 11*, 20.
***** 13.3
1b, 2gh,3cd, 6, 7, 9c, 10ef.
***** 13.4
1c,
2a, 3def, 4ab, 6de, 8*.
**** Kap 14
***** 14.1
1ac, 12, 13, 17a.
***** 14.2
16ab,
17bc.
***** 14.3
1bc, 2c
Jag har föreläst enligt följande föreläsningsanteckningar, med vissa utsvävningar.
De svenska versionerna är nyare. Några av föreläsningarna tar två tillfällen för att gå igenom.
| Nr | Föreläsning | Lecture | Rosen | Antal lektioner |
| | <15> | <10> | <10> | <5> |
|----+------------------------------+--------------------------------+-----------+-----------------|
| 0 | [[file:lectures/swelecture0.pdf][Introduktion till talteori]] | [[file:lectures/lecture0.pdf][Introduction to number theory]] | x | 1 |
| 1 | [[file:lectures/swelecture1.pdf][Heltal, delbarhet]] | [[file:lectures/lecture1.pdf][Integers, divisibility]] | 1.5,3 | 1 |
| 2 | [[file:lectures/swelecture2.pdf][Kongruensräkning]] | [[file:lectures/lecture2.pdf][Congruences]] | 4.1-4.3 | 1 |
| 2b | [[file:lectures/swelectureALG.pdf][Fermats och Eulers satser]] | [[file:lectures/lecture2b.pdf][Fermat's and Eulers's theorems]] | 6 | 1 |
| 3 | [[file:lectures/swelecture3.pdf][Aritmetiska funktioner]] | [[file:lectures/lecture3.pdf][Arithmetical functions]] | 7 | 2 |
| 4 | [[file:lectures/swelecture4.pdf][Hensel-lyft]] | [[file:lectures/lecture4.pdf][Hensel lifting]] | 4.4 | 1 |
| 4 | [[file:lectures/Henselfaktorisering.org][Hensel-faktorisering]] | not translated | | 0 |
| 5 | [[file:lectures/swelecture5.pdf][Primitiva rötter]] | [[file:lectures/lecture5.pdf][Primitive roots]] | 9 | 1 |
| 6 | [[file:lectures/swelecture6.pdf][Kvadratiska residyer]] | [[file:lectures/lecture6.pdf][Quadratic residues]] | 11 | 2-3 |
| 7 | [[file:lectures/kedjebrakinledning.pdf][Kedjebråk, inledande exempel]] | not translated | | 0-1 |
| 7 | [[file:lectures/swelecture7.pdf][Kedjebråk]] | [[file:lectures/lecture7.pdf][Continued fractions]] | 12.2-12.5 | 1-2 |
| 8 | [[file:lectures/swelecture8.pdf][Pytagoriska tripplar]] | [[file:lectures/lecture8.pdf][Pythagorean triples]] | 13.1-13.2 | 1 |
| 9 | [[file:lectures/swelecture9.pdf][Summor av kvadrater]] | [[file:lectures/lecture9.pdf][Sums of squares]] | 13.3 | 1 |
| 10 | [[file:lectures/swelecture10.pdf][Pells ekvation]] | [[file:lectures/lecture10.pdf][Pell's equation]] | 13.4 | 1 |
| 11 | [[file:lectures/swelecture11.pdf][Gaussiska heltal]] | [[file:lectures/lecture11.pdf][The Gaussian Integers]] | 14 | 1 |
| 12 | ej översatt | [[file:lectures/lecture12.pdf][RSA, Mersenne primes, etc]] | | 0-1 |
| 13 | ej översatt | [[file:lectures/lecture13.pdf][Repetition]] | | 0-1 |
| | | | | |
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
| Datum | Examinator | Tentamen | Lösningar |
|------------+-----------------+---------------------------+-----------------------------|
| 2023-08-17 | Jan Snellman | [[file:exams/2023/tenta-TATA54-20230817.pdf][TATA5420230817]] | [[file:exams/2023/tenta-TATA54-20230817soln.pdf][TATA5420230817soln]] |
| 2023-06-03 | Jan Snellman | [[file:exams/2023/tenta-TATA54-20230603.pdf][TATA5420230603]] | [[file:exams/2023/tenta-TATA54-20230603losn.pdf][TATA5420230603losn]] |
| 2022-08-18 | Jan Snellman | [[file:exams/2022/tenta-TATA54-20220818.pdf][TATA5420220818]] | lösning saknas |
| 2021-06-03 | Jan Snellman | [[file:exams/2021/tenta-TATA54-20210603.pdf][TATA5420210603sv]] | [[file:exams/2021/tenta-TATA54-20230817soln.pdf][TATA5420210603soln]] |
| 2021-06-03 | Jan Snellman | [[file:exams/2021/tenta-TATA54-20210603_en.pdf][TATA5420210603en]] | [[file:exams/2021/tenta-TATA54-20230817soln.pdf][TATA5420210603soln]] |
| 2021-08-19 | Jan Snellman | [[file:exams/2021/tenta-TATA54-20210819.pdf][TATA5420210819]] | [[file:exams/2021/tenta-TATA54-20210819soln.pdf][TATA54202108119soln]] |
| 2021-10-22 | Jan Snellman | [[file:exams/2021/tenta-TATA54-20211022.pdf][TATA5420212022]] | [[file:exams/2021/tenta-TATA54-20211022soln.pdf][TATA5420211022soln]] |
| 2020-06-04 | Jan Snellman | [[file:exams/2020/tenta-TATA54-20200604.pdf][TATA5420200604]] | [[file:exams/2020/tenta-TATA54-20200604soln.pdf][TATA5420200604soln]] |
| 2019-06-04 | Jan Snellman | [[file:exams/2019/tenta-TATA54-20190604.pdf][TATA5420190604]] | [[file:exams/2019/tenta-TATA54-20190604soln.pdf][TATA5420190604soln]] |
| 2019-11-01 | Jan Snellman | [[file:exams/2019/tenta-TATA54-20191101.pdf][TATA5420191101]] | [[file:exams/2019/tenta-TATA54-20191101soln.pdf][TATA5420191101soln]] |
| 2018-06-07 | Jan Snellman | [[file:exams/2018/tenta-TATA54-20180607.pdf][TATA5420180607]] | [[file:exams/2018/tenta-TATA54-20180607soln.pdf][TATA5420180607soln]] |
| 2018-03-12 | Jan Snellman | [[file:exams/2018/tenta-TATA54-20180312.pdf][TATA5420180312]] | [[file:exams/2018/tenta-TATA54-20180312soln.pdf][TATA5420180312soln]] |
| 2017-03-13 | Jan Snellman | [[file:exams/2017/tenta-TATA54-20170313.pdf][TATA5420170313]] | [[file:exams/2017/tenta-TATA54-20170313soln.pdf][TATA5420170313soln]] |
| 2017-06-08 | Jan Snellman | [[file:exams/2017/tenta-TATA54-20170608.pdf][TATA5420170608]] | [[file:exams/2017/tenta-TATA54-20170608soln.pdf][TATA5420170608soln]] |
| 2017-08-26 | Jan Snellman | [[file:exams/2017/tenta-TATA54-20170826.pdf][TATA5420170826]] | [[file:exams/2017/tenta-TATA54-20170826soln.pdf][TATA5420170826soln]] |
| 2016 | Leif Melkersson | [[file:exams/2016/tam.pdf]] | [[file:exams/2016/stam.pdf]] |
| 2016 | Leif Melkersson | [[file:exams/2016/tau.pdf]] | [[file:exams/2016/stau.pdf]] |
| 2016 | Leif Melkersson | [[file:exams/2016/taj.pdf]] | [[file:exams/2016/staj.pdf]] |
| 2015 | Leif Melkersson | [[file:exams/2015/tja.pdf]] | [[file:exams/2015/tjas.pdf]] |
| 2015 | Leif Melkersson | [[file:exams/2015/tju.pdf]] | [[file:exams/2015/tjus.pdf]] |
| 2015 | Leif Melkersson | [[file:exams/2015/tma.pdf]] | [[file:exams/2015/tmas.pdf]] |
| 2014 | Leif Melkersson | [[file:exams/2014/rieja.pdf]] | [[file:exams/2014/sv1408.pdf]] |
| 2013 | Leif Melkersson | [[file:exams/2013/tenta.pdf]] | [[file:exams/2013/tentasv.pdf]] |
| 2013 | Leif Melkersson | [[file:exams/2013/tena.pdf]] | [[file:exams/2013/sv1308.pdf]] |
| 2012 | Leif Melkersson | [[file:exams/2012/numm.pdf]] | [[file:exams/2013/numms.pdf]] |
** SageMath
Jag kommer att använda datoralgebraprogrammet [[https://www.sagemath.org/][SageMath]] för att beräkna lite större exempel.
Om ni vill experimentera på egen hand kan ni enkelt [[https://doc.sagemath.org/html/en/installation/index.html][installera programmet på er dator]],
och köra de kodsnuttar nedan som jag utvunnit från mina föreläsningsanteckningar.
Man kan också köra SageMath på nätet via [[https://cocalc.com/][CoCalc]].
Ett tredje alternativ, enkelt och flärdfritt, är att mata in sin kod till [[https://sagecell.sagemath.org/][SageCell]].
** Kod från vissa föreläsningar
- [[file:labs/lecture0.org][Föreläsning 0]]
- [[file:labs/lecture1.org][Föreläsning 1]]
- [[file:labs/lecture2.org][Föreläsning 2]]
- [[file:labs/lecture3.org][Föreläsning 3]]
- [[file:labs/lecture4.org][Föreläsning 4]]
- [[file:labs/lecture5.org][Föreläsning 5]]
** Laborationer
*** Hensellyft, Primitiva rötter, Kinesiska restsatsen
Finns att [[file:labs/HenselLyftLabHT2023.org][läsa direkt]] eller som [[file:labs/HenselLyftLabHT2023.ipynb][Jupyter notebook]] eller som [[file:labs/HenselLyftLabHT2023web.html][webapp]].
Finns att [[file:labs/kedjebraklab.org][läsa direkt]] eller som [[file:labs/kedjebraklab.ipynb][Jupyter notebook]] eller som [[file:labs/kedjebraklabweb.html][webapp]].
* Tidigare år <<senaste nytt>>
* Index
[[file:sitemap.org][Samtliga nåbara filer]]