Newer
Older
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
%\usepackage{times}
%\usepackage{euler}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[swedish]{babel}
\newcommand{\sgd}{\mathrm{sgd}}
\newcommand{\set}[1]{\left\{{#1}\right\}}
\newcommand{\vek}[1]{\boldsymbol{#1}}
\newcommand\setsuchas[2]{\left\{\,{#1}\,\vrule\,{#2}\,\right\}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\legendre}[2]{\genfrac{(}{)}{}{}{#1}{#2}}
\newcommand{\divides}[2]{{#1} \lvert {#2}}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
{
\noindent Talteori 6hp, Kurskod TATA54, Provkod TEN1 \\
LINKÖPINGS UNIVERSITET\\
Matematiska Institutionen\\
Examinator: Jan Snellman}
\bigskip
Alla problem ger maximalt 3 poäng. Full poäng kräver fullständig lösning.
8p räcker för betyg 3, 11p för betyg 4, 14p för betyg 5.
\medskip
{\small{\(\mu\) är Möbiusfunktionen, \(\phi\) är Eulers phi-funktion,
så \(\phi(n)\) räknar antalet multiplikativt inverterbara kongruensklasser modulo \(n\).
\(\tau(n)\) räknar antalet positiva delare till heltalet \(n\).
\medskip
\begin{enumerate}[1)]
\item Hitta alla lösningar till
\begin{displaymath}
x^5 +2x +3 \equiv 0 \mod 27
\end{displaymath}
och bestäm \textbf{antalet} sådana lösningar modulo 81.
\item Vad är den största multiplikativa ordningen
av ett heltal modulo 99?
Ange något sådant heltal av maximal multiplikativ ordning.
\item Hitta alla rationella punkter på kurvan
\begin{displaymath}
x^2 -7y^2 - 1 = 0
\end{displaymath}
det vill säga alla lösningar \((x,y)\) med \(x,y \in \QQ\).
\item
Ange explicit två olika punkter på kurvan
\begin{displaymath}
(x^2 -7y^2 - 1)(x^2-7y^2+1)=0
\end{displaymath}
vars koordinater är positiva heltal; beskriv alla övriga
sådana punkter.
\item
Låt \(\tau(n)\) beteckna antalet positiva delare till heltalet \(n\).
Visa att
\[
h(n) =
\sum_{\divides{k}{n}} \tau(k)
= \prod_{j=1}^r \binom{a_j + 2}{2}
\]
då \(n\) har primfaktoriseringen \(n=\prod_{j=1}^r p_j^{a_j}\).
Summan löper förstås över \emph{positiva} delare till \(n\).
% Visa även att
% \[
% \sum_{k=1}^n \tau(k) =
% \sum_{k=1}^n \left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor
% \]
\item
Låt \(p\) vara ett udda primtal. Visa att ekvationen
\[ x^4 \equiv -1 \mod p\]
är lösbar om och endast om \(p \equiv 1 \mod 8\).