<!DOCTYPE html>
<html lang="sv">
<head>
<!-- 2024-06-01 -->
<meta charset="utf-8" />
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1" />
<title>TATA54 Talteori</title>
<meta name="author" content="Jan Snellman Jan Snellman" />
<meta name="generator" content="Org Mode" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="src/liumai_theme/css/htmlize.css"/>
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="src/liumai_theme/css/liumai.css"/>
<script type="text/javascript" src="src/lib/js/jquery.min.js"></script>
<script type="text/javascript" src="src/lib/js/bootstrap.min.js"></script>
<script type="text/javascript" src="src/lib/js/jquery.stickytableheaders.min.js"></script>
<script type="text/javascript" src="src/liumai_theme/js/liumai.js"></script>
<link rel="icon" type="image/x-icon" href="/favicon.ico"/>
<script>
window.MathJax = {
tex: {
ams: {
multlineWidth: '85%'
},
tags: 'ams',
tagSide: 'right',
tagIndent: '.8em'
},
chtml: {
scale: 1.0,
displayAlign: 'center',
displayIndent: '0em'
},
svg: {
scale: 1.0,
displayAlign: 'center',
displayIndent: '0em'
},
output: {
font: 'mathjax-modern',
displayOverflow: 'overflow'
}
};
</script>
<script
id="MathJax-script"
async
src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-mml-chtml.js">
</script>
</head>
<body>
<header id="top" class="status">
<div id="navbar" style ="text-align: center;">
<a href='https://liu.se'>LiU</a> -
<a href='https://liu.se/organisation/liu/mai'>MAI</a> -
<a href='https://liu.se/organisation/liu/mai'>Grundutbildning</a> -
<a href='https://courses.mai.liu.se/Lists/html/'>Kurser</a> -
<a href='index.html'>TATA54</a></div>
</header>
<main id="content" class="content">
<header>
<h1 class="title">TATA54 Talteori</h1>
</header><nav id="table-of-contents" role="doc-toc">
<h2>Innehåll</h2>
<div id="text-table-of-contents" role="doc-toc">
<ul>
<li><a href="#org11cd8e4">Kurshemsida för TATA54, Talteori </a>
<ul>
<li><a href="#orgbf145e8">Ämnesområde</a></li>
<li><a href="#orgbd10c80">Poäng</a></li>
<li><a href="#orgdf916de">Examinator</a></li>
<li><a href="#org0e97f91">Schema</a></li>
<li><a href="#org978acab">Examination</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#orgc6ffe16">Allra senaste nytt VT2024 </a>
<ul>
<li><a href="#orgba4c7fd">2024-06-01</a></li>
<li><a href="#org2921027">2024-05-18</a></li>
<li><a href="#org580c3f6">2024-05-16</a></li>
<li><a href="#orgfb06446">2024-05-13</a></li>
<li><a href="#org36a5a6c">2024-05-06</a></li>
<li><a href="#orge2800f4">2024-04-29</a></li>
<li><a href="#org8296c85">2024-04-23</a></li>
<li><a href="#orgc936b6f">2024-04-22</a></li>
<li><a href="#org4dc177a">2024-04-14</a>
<ul>
<li><a href="#org55f3eec">Uppgifter att räkna till nästa gång</a></li>
<li><a href="#orgbc6c0fd">Datorlaboration</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org865cc31">2024-04-07</a>
<ul>
<li><a href="#org0f556e1">Uppgifter att räkna till nästa gång</a></li>
<li><a href="#org9f5a134">Beviset för kvadratisk reciprocitet</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org429e5d4">2024-04-02</a></li>
<li><a href="#orgfa53138">2024-03-11</a></li>
<li><a href="#org54eab67">2024-03-06</a></li>
<li><a href="#org73f95a7">2024-03-05</a></li>
<li><a href="#orgf0c9193">2024-02-29</a></li>
<li><a href="#org7f7d557">2024-02-20</a></li>
<li><a href="#org6fc379e">2024-02-12</a></li>
<li><a href="#org7b22a27">2024-02-07</a></li>
<li><a href="#orgbc98f91">2024-01-30</a>
<ul>
<li><a href="#org7ada8fb">Tvillingfria primtal</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org5081bbc">2024-01-23</a></li>
<li><a href="#orgec17e4b">2024-01-16</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org83cdbc2">Kurslitteratur </a>
<ul>
<li><a href="#org969d2a9">Kursbok</a></li>
<li><a href="#orgfa4a7ab">Bredvidläsning</a>
<ul>
<li><a href="#orge4da471">Fritt tillgängligt material</a></li>
<li><a href="#org2169300">Andra lämpliga böcker</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
<li><a href="#orgc6c0ef4">Kursinnehåll </a>
<ul>
<li><a href="#org43c7b85">Avsnitt av kursboken</a>
<ul>
<li><a href="#org0c49604">Rekommenderade uppgifter </a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org33f6268">Kort beskrivning av kursinnehållet</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org0e51919">Föreläsningar </a></li>
<li><a href="#orgf5fd67d">Tentor </a></li>
<li><a href="#orgac41624">Datorlaborationer </a>
<ul>
<li><a href="#orgd0ccf06">SageMath</a></li>
<li><a href="#orgd3b0180">Kod från vissa föreläsningar</a></li>
<li><a href="#org85c34f4">Laborationer</a>
<ul>
<li><a href="#orga1be7da">Hensellyft, Primitiva rötter, Kinesiska restsatsen</a></li>
<li><a href="#org2528f16">Kedjebråk</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org27d49bb">Tidigare år </a>
<ul>
<li><a href="#orga1fa650">TATA54 Anteckningar från tidigare år</a>
<ul>
<li><a href="#orgd4aaf8a">2023</a></li>
<li><a href="#orgc39991d">2021</a></li>
<li><a href="#org6bff760">2020</a></li>
<li><a href="#org85cd779">2019</a></li>
<li><a href="#org21f5089">2018</a></li>
<li><a href="#org7ce4987">2017</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
<li><a href="#orga44ea53">Index</a></li>
</ul>
</div>
</nav>
<section id="outline-container-org11cd8e4" class="outline-2">
<h2 id="org11cd8e4">Kurshemsida för TATA54, Talteori <a id="orgebfa722"></a></h2>
<div class="outline-text-2" id="text-org11cd8e4">
</div>
<div id="outline-container-orgbf145e8" class="outline-3">
<h3 id="orgbf145e8">Ämnesområde</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgbf145e8">
<p>
Matematik
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgbd10c80" class="outline-3">
<h3 id="orgbd10c80">Poäng</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgbd10c80">
<p>
6 hp
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgdf916de" class="outline-3">
<h3 id="orgdf916de">Examinator</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgdf916de">
<p>
<a href="https://liu.se/medarbetare/jansn19">Jan Snellman</a> (se även min
<a href="https://jansn19.gitlab-pages.liu.se/jan-snellman-hemsida/">hemsida</a>)
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org0e97f91" class="outline-3">
<h3 id="org0e97f91">Schema</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org0e97f91">
<p>
Se <a href="https://cloud.timeedit.net/liu/web/schema/ri167XQQ538Z50Qm07065gZ6y2Y7306Q6Y43Y1.html">TimeEdit</a>
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org978acab" class="outline-3">
<h3 id="org978acab">Examination</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org978acab">
<p>
Skriftlig tentamen.
</p>
<table>
<colgroup>
<col class="org-left">
<col class="org-left">
<col class="org-right">
<col class="org-right">
<col class="org-left">
<col class="org-left">
</colgroup>
<tbody>
<tr>
<td class="org-left">Utb. kod</td>
<td class="org-left">Kursnamn</td>
<td class="org-right">Datum</td>
<td class="org-right">Tid</td>
<td class="org-left">Ort</td>
<td class="org-left">Anmälningsperiod</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-left">TATA54/TEN1</td>
<td class="org-left">Talteori</td>
<td class="org-right">2024-06-01</td>
<td class="org-right">8-12</td>
<td class="org-left">Linköping</td>
<td class="org-left">2024-05-02 - 2024-05-22</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-left">TATA54/TEN1</td>
<td class="org-left">Talteori</td>
<td class="org-right">2024-08-22</td>
<td class="org-right">14-18</td>
<td class="org-left">Linköping</td>
<td class="org-left">2024-07-23 - 2024-08-12</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
</div>
</section>
<section id="outline-container-orgc6ffe16" class="outline-2">
<h2 id="orgc6ffe16">Allra senaste nytt VT2024 <a id="orgba15c0d"></a></h2>
<div class="outline-text-2" id="text-orgc6ffe16">
</div>
<div id="outline-container-orgba4c7fd" class="outline-3">
<h3 id="orgba4c7fd">2024-06-01</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgba4c7fd">
<p>
<a href="exams/2024/tenta-TATA54-20240601-losning.pdf">Lösningar</a> till <a href="exams/2024/tenta-TATA54-20240601.pdf">dagens tenta</a> finns nu att beskåda. Jag hoppas kunna rätta tentorna till på fredag nästa vecka.
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org2921027" class="outline-3">
<h3 id="org2921027">2024-05-18</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org2921027">
<p>
Återstående lektion är inställd. Läs kursboken om Gaussiska heltal
och summor av två kvadrater, titta på föreläsningsanteckningarna om <a href="lectures/swelecture11.pdf">Gaussiska heltal</a>
Som ett komplement kan ni också läsa
<a href="https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/ugradnumthy/Zinotes.pdf">The Gaussian integers</a> av <a href="https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/">Keith Conrad</a>. Det innehåller dock lite saker som inte
ingår i kursen, som kongruenser modulo Gaussiska heltal.
</p>
<p>
Jag påminner om att kursens innehåll är specificerad som en lista av kapitel i
Rosen, finns <a href="#org06fee11">längre ned på denna sida</a>.
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org580c3f6" class="outline-3">
<h3 id="org580c3f6">2024-05-16</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org580c3f6">
<p>
Jag är inlagd på sjukhus… Det är väl osäkert om det går att hitta vikarier
till lektionerna i morgon och på måndag. Fråga någon av studierektorerna, eller proprefekt Jesper Thoren.
</p>
<p>
Tentamen skall kunna bli av utan problem!
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgfb06446" class="outline-3">
<h3 id="orgfb06446">2024-05-13</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgfb06446">
<p>
Till på fredag så tittar vi på 13.4.3abc, 13.4.5, 13.4.11.
Till sista lektionen (måndag 20 maj) så tittar vi på 14.1.17ab, 14.1.23.
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org36a5a6c" class="outline-3">
<h3 id="org36a5a6c">2024-05-06</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org36a5a6c">
<p>
Till nästa gång så tittar vi på 13.1.15, 13.3.1.b, 13.3.2g, 13.3.6, 13.3.8.
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orge2800f4" class="outline-3">
<h3 id="orge2800f4">2024-04-29</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orge2800f4">
<p>
Till nästa gång så tittar vi på 12.4.3b, 12.4.8, 13.1.2, 13.1.3.
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org8296c85" class="outline-3">
<h3 id="org8296c85">2024-04-23</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org8296c85">
<p>
Jag pratade om ”Eulers regel” som uttrycker kedjebråkskonvergenterna
q<sub>n</sub>/p<sub>n</sub> till [x<sub>0</sub>;x<sub>1,x</sub><sub>2,…</sub>] som rationella funktioner i
x<sub>0,x</sub><sub>1</sub>,… Det står inget om det i kursboken, men wikipediasidan om
<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Continuant_(mathematics)">continuant</a> beskriver satsen, och informationen där är tillräcklig för
att få till ett bevis. ”Kontinuander” definieras med samma rekursion som den som
gäller för p<sub>n</sub> och q<sub>n</sub>, och sammanfaller med de första
täljarna och nämnarna, så måste vara samma. Den kombinatoriska
beskrivningen kan visas med induktion.
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgc936b6f" class="outline-3">
<h3 id="orgc936b6f">2024-04-22</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgc936b6f">
<p>
Vi har två föreläsningar den kommande veckan, torsdag 24 april samt fredag 25 april.
Till på torsdag tittar ni på 12.3.1c, 12.2.2a (nedskalad till första 4), 12.3.4 (nedskalat till första 5, approximationsfel < 1/100).
Till på fredag 12.4.5b, 12.4.6b
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org4dc177a" class="outline-3">
<h3 id="org4dc177a">2024-04-14</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org4dc177a">
</div>
<div id="outline-container-org55f3eec" class="outline-4">
<h4 id="org55f3eec">Uppgifter att räkna till nästa gång</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org55f3eec">
<p>
12.2.1bf, 12.2.2cd, 12.2.3c, 12.2.11
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgbc6c0fd" class="outline-4">
<h4 id="orgbc6c0fd">Datorlaboration</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgbc6c0fd">
<p>
Titta på <a href="labs/kedjebraklabweb.html">kedjebråkslabben</a> och använd den för att göra 12.2.3df.
Hitta en formel för a(k,m) = [k;k,…,k] (längd m). Vad är
gränsvärdet av a(k,m) då m går mot oändligheten?
</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org865cc31" class="outline-3">
<h3 id="org865cc31">2024-04-07</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org865cc31">
</div>
<div id="outline-container-org0f556e1" class="outline-4">
<h4 id="org0f556e1">Uppgifter att räkna till nästa gång</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org0f556e1">
<p>
11.1.1d, 11.1.4, 11.1.25ab, 11.2.1cd, 11.2.2, 11.2.3,11.2.4
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org9f5a134" class="outline-4">
<h4 id="org9f5a134">Beviset för kvadratisk reciprocitet</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org9f5a134">
<p>
Jag stakade mig lite vid bevist för kvadratisk reciprocitet. Speciellt så oroade jag mig över
om det kunde finnas gitterpunkter (x,y) med x=(p-1)/2, (q-1)/2 < y <= (q/p)x.
Men det är enkelt att visa att (p-1)/2*q < (q-1)2 +1, så det går inte. Beviset håller!
</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org429e5d4" class="outline-3">
<h3 id="org429e5d4">2024-04-02</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org429e5d4">
<p>
På fredag så räknar vi de uppgifter om diskreta logaritmer vi inte hann med förra gången.
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgfa53138" class="outline-3">
<h3 id="orgfa53138">2024-03-11</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgfa53138">
<p>
Jag har nu bokat om föreläsningarna till Fredagar kl 13-15 (fortfarande i kompakta rummet)
samt måndag 25 mars kl 13-15,
samt 25/4 13-15 och 20/5 13-15.
Det blir 10 tillfällen totalt, vilket bör räcka.
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org54eab67" class="outline-3">
<h3 id="org54eab67">2024-03-06</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org54eab67">
<p>
Det verkar som fredagar kl 13-15 inte kolliderar med andra kurser, så jag planerar att flytta lektioner till den tiden.
Det är 8 sådana fredagar under perioden, så helst skall jag schemalägga tre tillfällen till.
Möjliga tider är måndag 25 mars kl 13-15, torsdag 25 april kl 13-15, måndag 20 maj kl 10-12 eller kl 13-15,
27-29 maj 10-12 eller 13-15.
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org73f95a7" class="outline-3">
<h3 id="org73f95a7">2024-03-05</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org73f95a7">
<p>
Det har framförts önskemål om att byta tid för lektionerna i period 4 för att undvika
kollision med kursen i optimeringslära.
</p>
<p>
För närvarande så är tiderna huvudsakligen onsdagar kl 10-12 samt torsdagar kl 13-15.
Mejla mig med önskemål på vilka av dessa tider som bör flyttas, och hur.
</p>
<p>
Jag har, vad jag kan se, ingen undervisning måndagar kl 10-12 eller fredagar kl 10-12, 13-15,
så dessa tider skulle fungera för mig.
</p>
<p>
Det rör sig om 11 tillfällen totalt.
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgf0c9193" class="outline-3">
<h3 id="orgf0c9193">2024-02-29</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgf0c9193">
<p>
Till nästa lektion så tittar ni på uppgifterna
9.1.1d, 9.1.2d, 9.1.5b, 9.1.6d, 9.1.10, 9.1.20.
</p>
<p>
Till lektionen efter det (27 mars) så räknar ni
9.2.1d, 9.2.3e, 9.2.6, 9.3.3c, 9.3.8, 9.4.1, 9.4.2b, 9.4.3a, 9.4.9, 9.4.10.
(Vi kanske inte diskuterar ALLA dessa, men räkna så många ni kan/hinner).
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org7f7d557" class="outline-3">
<h3 id="org7f7d557">2024-02-20</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org7f7d557">
<p>
Till nästa lektion (27 feb) så tittar ni på uppgifterna
4.2.15, 4.2.16, 4.2.18, 4.4.2ab. Använd Hensels lemma vid behov.
Ni kan också använda
<a href="labs/HenselLyftLabHT2023web.html">Hensel-laborationen</a>.
För att förstå uppgift 4.2.18, titta på \(x^2-1\) modulo 2, lyft till
grad 5 eller 6.
</p>
<div class="org-src-container">
<pre class="src src-sage" id="org4d90c6b">def H_L_tree(f, p: int, r: int):
vert = [(0,0)]
for j in range(1,r+1):
fj = f.change_ring(Integers(p^j))
fzj = fj.roots(multiplicities=False)
vert += [(z,j) for z in fzj]
return DiGraph([vert,
lambda u,v: (u[1] == 1 and v[1] == 0)
or
( (u[1] == v[1]+1) and ((u[0] - v[0]) % p^v[1] ==0) )
])
</pre>
</div>
<div class="org-src-container">
<pre class="src src-sage"><<H_L_tree>>
p=2
r=6
R.<x> = ZZ[]
f = R(x^2 -1)
H_L_tree(f,p,r).plot(layout='tree')
</pre>
</div>
<figure id="org0119fe4">
<img src="img/Henseluppgift.png" alt="Henseluppgift.png">
</figure>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org6fc379e" class="outline-3">
<h3 id="org6fc379e">2024-02-12</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org6fc379e">
<p>
Till nästa lektion (20 feb) så tittar ni på uppgifterna
7.1.5, 7.2.1d, 7.2.8, 7.2.35, 7.4.23, 7.4.24
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org7b22a27" class="outline-3">
<h3 id="org7b22a27">2024-02-07</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org7b22a27">
<p>
Till nästa lektion (12 feb) så tittar ni på uppgifterna
4.1.5, 4.1.9b, 4.2.8c,4.3.3.
<b>Observera</b> att den lektionen hålls i P36, samtliga senare kommer
att vara i Kompakta rummet.
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgbc98f91" class="outline-3">
<h3 id="orgbc98f91">2024-01-30</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgbc98f91">
<ul class="org-ul">
<li>Till nästa gång så tittar ni på uppgifterna 3.3.10, 3.4.1c,3.4.20, 3.5.32,3.7.1c</li>
<li>Dessutom: visa att om \(m,n\) relativt prima, \(m|a\), \(n|a\), så \(mn|a\).</li>
<li>Det gick att flytta lektionerna till
<a href="https://use.mazemap.com/#v=1&config=liu&center=15.577474,58.399570&zoom=18&sharepoitype=poi&sharepoi=1000928167&zlevel=2&campusid=742">Kompakta rummet</a></li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-org7ada8fb" class="outline-4">
<h4 id="org7ada8fb">Tvillingfria primtal</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org7ada8fb">
<p>
Jag använde följande sagemath-kod för att hitta \((k,n)\) med
sgd(k,n)=1, sgd(k-2,n) > 1, sgd(k+2,n) >1, så att Dirichlets sats
garanterar oändligt många primtal i nZ + k.
</p>
<div class="org-src-container">
<pre class="src src-sage" id="org1e013cf">def repr(n):
return [k for k in range(n) if gcd(k,n)==1]
def isolated(n):
rlist = repr(n)
return [k for k in rlist if gcd(k-2,n)>1 and gcd(k+2,n)>1]
def find_isolated(N):
for n in range(3,N):
if len(isolated(n)) > 0:
print(n, isolated(n))
</pre>
</div>
<p>
Körning visar att n=15, k=7 är minsta exemplet.
</p>
<pre class="example">
15 [7, 8]
21 [5, 16]
30 [7, 23]
33 [13, 20]
35 [12, 23]
39 [11, 28]
</pre>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org5081bbc" class="outline-3">
<h3 id="org5081bbc">2024-01-23</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org5081bbc">
<p>
Till nästa gång så tittar ni på uppgifterna 1.5.18, 1.5.36, 3.1.6, 3.2.10.
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgec17e4b" class="outline-3">
<h3 id="orgec17e4b">2024-01-16</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgec17e4b">
<ul class="org-ul">
<li>Första föreläsningen, information om kursupplägget, kurslitteratur, tentamen.</li>
<li>Pratade om <a href="lectures/swelecture0.pdf">talteori som matematisk disciplin</a>, mycket översiktligt.</li>
<li>Började diskutera <a href="lectures/swelecture1.pdf">delbarhet och sgd</a>.</li>
<li>Önskemål om information om vilka/vilket kapitel i kursboken en given
föreläsning är kopplad till, skall ordna.</li>
<li>Vi kommer att gå igenom uppgifter
(hämtade från listan med <a href="#orgd99cfc5">rekommenderade uppgifter</a>)
på vissa av lektionstillfällena, kanske första 45 minuterna. Annonseras här.</li>
<li>Jag glömde att framföra följande förmaning: även om kursen examineras med en enda skriftlig
tentamen i juni så är det viktigt att studera kontinuerligt, och räkna uppgifter.
Försök att hinna med att skumma (läsa översiktligt, skippa detaljer)
igenom det avsnitt som skall gås igenom på föreläsningen
<i>innan</i> densamma. Sedan, någon gång efter föreläsningen, bör ni läsa samma avsnitt en gång
till, nu med fokus på att förstå bevisen.</li>
<li>Det går an att mejla mig med frågor om uppgifter eller kursen i stort.</li>
</ul>
</div>
</div>
</section>
<section id="outline-container-org83cdbc2" class="outline-2">
<h2 id="org83cdbc2">Kurslitteratur <a id="org47e9684"></a></h2>
<div class="outline-text-2" id="text-org83cdbc2">
</div>
<div id="outline-container-org969d2a9" class="outline-3">
<h3 id="org969d2a9">Kursbok</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org969d2a9">
<p>
Kursbok är <a href="https://www.prisjakt.nu/produkt.php?p=8083662">Elementary Number Theory</a> av Kenneth Rosen.
</p>
<figure id="orgc8a4fed">
<img src="img/Rosen6ed.png" alt="Rosen6ed.png" width="40%">
<figcaption><span class="figure-number">Illustration 1 </span>Elementary Number Theory, Kenneth Rosen</figcaption>
</figure>
<p>
Den sjätte upplagan är den senaste, men det finns flera olika tryckningar,
vilket inte påverkar innehållet.
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgfa4a7ab" class="outline-3">
<h3 id="orgfa4a7ab">Bredvidläsning</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgfa4a7ab">
</div>
<div id="outline-container-orge4da471" class="outline-4">
<h4 id="orge4da471">Fritt tillgängligt material</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orge4da471">
<p>
Följande böcker är fritt tillgängliga på nätet. Kursboken är väldigt grundlig
och täcker kursinnehållet, men det kan ändå vara bra att se olika
framställningar.
</p>
<ul class="org-ul">
<li><a href="https://wstein.org/ent/">Elementary Number Theory</a> av William Stein.</li>
<li><a href="https://hackmat.se/kurser/TATM54/booktot.pdf">Elementary Number Theory</a> av Peter Hackman.</li>
<li><a href="https://math.libretexts.org/Bookshelves/Combinatorics_and_Discrete_Mathematics/Elementary_Number_Theory_(Raji)">An introduction in elementary number theory</a> av Wissam Raji</li>
<li><a href="https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/ugradnumthy/Zinotes.pdf">The Gaussian integers</a> av <a href="https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/">Keith Conrad</a> behandlar just Gaussiska heltal, på ett
föredömligt sätt.</li>
<li>Jag hänvisar till <a href="https://arxiv.org/abs/0809.2139">Constructing the Primitive Roots of Prime Powers</a> av Nathan
Jolly för en metod att hitta primitiva rötter.</li>
<li>Kompendium om <a href="literature/Fibonacci_Exposition.pdf">fibonaccitalen</a>.</li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org2169300" class="outline-4">
<h4 id="org2169300">Andra lämpliga böcker</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org2169300">
<ul class="org-ul">
<li>BAKER. A concise introduction to the theory of numbers.</li>
<li>DAVENPORT. The higher arithmetic.</li>
<li>DICKSON Introduction to the theory of numbers.</li>
<li>HARDY and WRIGHT. Introduction to the theory of numbers. En riktig klassiker,
som även behandlar analytisk talteori. Valda avsnitt är elementära.</li>
<li>IRELAND and ROSEN. A classical introduction to number theory. En lämplig
fortbildning efter denna kurs.</li>
<li>LEVEQUE. Topics in number theory.</li>
<li>SIERPINSKY. Elementary theory of numbers.</li>
<li>SILVERMAN. A friendly introduction to number theory.</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>
</section>
<section id="outline-container-orgc6c0ef4" class="outline-2">
<h2 id="orgc6c0ef4">Kursinnehåll <a id="org06fee11"></a></h2>
<div class="outline-text-2" id="text-orgc6c0ef4">
</div>
<div id="outline-container-org43c7b85" class="outline-3">
<h3 id="org43c7b85">Avsnitt av kursboken</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org43c7b85">
<p>
Kursen omfattar följande delar/kapitel av kursboken: 1.5, 2.1, 3, 4.1-4.4, 5.1,
6, 7.1-7.4, 9, 11.1-11.4, 12, 13.1-13.4,14. Jag kommer inte att föreläsa om
precis alla moment ovan, och jag kan komma att berätta om ämnen som inte
behandlas i dessa delar av kursboken. Tentamen kommer dock att testa kunskaper
från just dessa avsnitt.
</p>
</div>
<div id="outline-container-org0c49604" class="outline-4">
<h4 id="org0c49604">Rekommenderade uppgifter <a id="orgd99cfc5"></a></h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org0c49604">
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="org1cc7e3a"></a>Kap 1<br>
<ul class="org-ul">
<li><a id="org978ec51"></a>1.5<br>
<div class="outline-text-6" id="text-org978ec51">
<p>
8a,9b,18,36,37
</p>
</div>
</li>
</ul>
</li>
<li><a id="org0585282"></a>Kap 3<br>
<ul class="org-ul">
<li><a id="orgba991bb"></a>3.1<br>
<div class="outline-text-6" id="text-orgba991bb">
<p>
1ab, 2f,6.
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org1d83cec"></a>3.2<br>
<div class="outline-text-6" id="text-org1d83cec">
<ol class="org-ol">
<li></li>
</ol>
</div>
</li>
<li><a id="org1f58297"></a>3.3<br>
<div class="outline-text-6" id="text-org1f58297">
<p>
1df,2ef,10,24,30,31
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org658bec3"></a>3.4<br>
<div class="outline-text-6" id="text-org658bec3">
<p>
1bc, 19*, 20*.
</p>
</div>
</li>
<li><a id="orgb0fdc9e"></a>3.5<br>
<div class="outline-text-6" id="text-orgb0fdc9e">
<p>
1il, 2, 4c, 29cd,
32*, 34, 58ac.
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org45b4d99"></a>3.7<br>
<div class="outline-text-6" id="text-org45b4d99">
<p>
1cd
</p>
</div>
</li>
</ul>
</li>
<li><a id="orgbb7b14d"></a>Kap 4<br>
<ul class="org-ul">
<li><a id="org06c1fef"></a>4.1<br>
<div class="outline-text-6" id="text-org06c1fef">
<p>
4,5,7ab,9bc.
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org53f1544"></a>4.2<br>
<div class="outline-text-6" id="text-org53f1544">
<p>
1df, 8c, 9d.
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org490796e"></a>4.3<br>
<div class="outline-text-6" id="text-org490796e">
<p>
3,4.
</p>
</div>
</li>
<li><a id="orgb4590fd"></a>4.4<br>
<div class="outline-text-6" id="text-orgb4590fd">
<p>
2ab.
</p>
</div>
</li>
</ul>
</li>
<li><a id="org8aea6f0"></a>Kap 5<br>
<ul class="org-ul">
<li><a id="org34987f8"></a>5.1<br>
<div class="outline-text-6" id="text-org34987f8">
<p>
4ab.
</p>
</div>
</li>
</ul>
</li>
<li><a id="org44c4796"></a>Kap 6<br>
<ul class="org-ul">
<li><a id="org5467c3d"></a>6.1<br>
<div class="outline-text-6" id="text-org5467c3d">
<p>
4,5,6,9,10,14,18,19,22,24,24,28,36,38*,41,48*,52.
</p>
</div>
</li>
<li><a id="orgcb44edd"></a>6.2<br>
<div class="outline-text-6" id="text-orgcb44edd">
<p>
2,8,12,16ab.
</p>
</div>
</li>
<li><a id="orga80d292"></a>6.3<br>
<div class="outline-text-6" id="text-orga80d292">
<p>
1d,6,7,22*
</p>
</div>
</li>
</ul>
</li>
<li><a id="orgdcdc40f"></a>Kap 7<br>
<ul class="org-ul">
<li><a id="org90dcdab"></a>7.1<br>
<div class="outline-text-6" id="text-org90dcdab">
<p>
2bc,5,8.
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org39c711c"></a>7.2<br>
<div class="outline-text-6" id="text-org39c711c">
<p>
1bd,2cd,8,34*,35,38*.
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org2d9e7af"></a>7.3<br>
<div class="outline-text-6" id="text-org2d9e7af">
<p>
3b,4,7,8,10,18,22**,28*,29cd.
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org01dd2e1"></a>7.4<br>
<div class="outline-text-6" id="text-org01dd2e1">
<p>
1bd,2be,14,22,23,24,30,31.
</p>
</div>
</li>
</ul>
</li>
<li><a id="org22e6c42"></a>Kap 9<br>
<ul class="org-ul">
<li><a id="org3171b1b"></a>9.1<br>
<div class="outline-text-6" id="text-org3171b1b">
<p>
1ad, 2cd, 5b, 6df, 8, 10, 20*,
22*.
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org9d9f07a"></a>9.2<br>
<div class="outline-text-6" id="text-org9d9f07a">
<p>
1d, 2d, 3e, 6.
</p>
</div>
</li>
<li><a id="orgf0b7847"></a>9.3<br>
<div class="outline-text-6" id="text-orgf0b7847">
<p>
2,3c, 5c,6c, 8b, 10.
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org9f8fe1f"></a>9.4<br>
<div class="outline-text-6" id="text-org9f8fe1f">
<p>
1, 2b, 3a,
4, 9, 10, 19, 20*.
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org99d1763"></a>9.5<br>
<div class="outline-text-6" id="text-org99d1763">
<p>
2,3,10.
</p>
</div>
</li>
<li><a id="orgfa55cb8"></a>9.6<br>
<div class="outline-text-6" id="text-orgfa55cb8">
<p>
1bcg, 4def, 13*, 14*.
</p>
</div>
</li>
</ul>
</li>
<li><a id="org94cf781"></a>Kap 11<br>
<ul class="org-ul">
<li><a id="org7d092f2"></a>11.1<br>
<div class="outline-text-6" id="text-org7d092f2">
<p>
1d, 4, 25.
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org88bf99e"></a>11.2<br>
<div class="outline-text-6" id="text-org88bf99e">
<p>
1cd, 2, 4, 5.
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org01d2881"></a>11.3<br>
<div class="outline-text-6" id="text-org01d2881">
<p>
1ef, 5, 6.
</p>
</div>
</li>
<li><a id="orgad3a1ae"></a>11.4<br>
<div class="outline-text-6" id="text-orgad3a1ae">
<p>
1, 2, 5, 6.
</p>
</div>
</li>
</ul>
</li>
<li><a id="org44aa093"></a>Kap 12<br>
<ul class="org-ul">
<li><a id="org936a20d"></a>12.2<br>
<div class="outline-text-6" id="text-org936a20d">
<p>
1bf, 2cd, 3c, 4c.
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org30d8efe"></a>12.3<br>
<div class="outline-text-6" id="text-org30d8efe">
<p>
1c, 2a, 6*, 7.
</p>
</div>
</li>
<li><a id="orgc28fd4b"></a>12.4<br>
<div class="outline-text-6" id="text-orgc28fd4b">
<p>
1c, 2c, 3b, 4a,
5b, 6b, 7b, 8, 10, 17.
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org6fe52f2"></a>12.5<br>
<div class="outline-text-6" id="text-org6fe52f2">
<ol class="org-ol">
<li></li>
</ol>
</div>
</li>
</ul>
</li>
<li><a id="org3f74cbe"></a>Kap 13<br>
<ul class="org-ul">
<li><a id="orgd9fc89a"></a>13.1<br>
<div class="outline-text-6" id="text-orgd9fc89a">
<p>
1, 2, 3, 8, 16.
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org80effe7"></a>13.2<br>
<div class="outline-text-6" id="text-org80effe7">
<p>
3, 4,
6*, 8, 10, 11*, 20.
</p>
</div>
</li>
<li><a id="orgc699f00"></a>13.3<br>
<div class="outline-text-6" id="text-orgc699f00">
<p>
1b, 2gh,3cd, 6, 7, 9c, 10ef.
</p>
</div>
</li>
<li><a id="orgb9e9b7b"></a>13.4<br>
<div class="outline-text-6" id="text-orgb9e9b7b">
<p>
1c,
2a, 3def, 4ab, 6de, 8*.
</p>
</div>
</li>
</ul>
</li>
<li><a id="org1a1cc94"></a>Kap 14<br>
<ul class="org-ul">
<li><a id="org8bd881e"></a>14.1<br>
<div class="outline-text-6" id="text-org8bd881e">
<p>
1ac, 12, 13, 17a.
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org659103e"></a>14.2<br>
<div class="outline-text-6" id="text-org659103e">
<p>
16ab,
17bc.
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org20cf5b1"></a>14.3<br>
<div class="outline-text-6" id="text-org20cf5b1">
<p>
1bc, 2c
</p>
</div>
</li>
</ul>
</li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org33f6268" class="outline-3">
<h3 id="org33f6268">Kort beskrivning av kursinnehållet</h3>
</div>
</section>
<section id="outline-container-org0e51919" class="outline-2">
<h2 id="org0e51919">Föreläsningar <a id="org025d360"></a></h2>
<div class="outline-text-2" id="text-org0e51919">
<p>
Jag har föreläst enligt följande föreläsningsanteckningar, med vissa utsvävningar.
De svenska versionerna är nyare. Några av föreläsningarna tar två tillfällen för att gå igenom.
</p>
<table>
<colgroup>
<col class="org-right">
<col class="org-left">
<col class="org-left">
<col class="org-right">
<col class="org-right">
</colgroup>
<thead>
<tr>
<th scope="col" class="org-right">Nr</th>
<th scope="col" class="org-left">Föreläsning</th>
<th scope="col" class="org-left">Lecture</th>
<th scope="col" class="org-right">Rosen</th>
<th scope="col" class="org-right">Antal lektioner</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td class="org-right">0</td>
<td class="org-left"><a href="lectures/swelecture0.pdf">Introduktion till talteori</a></td>
<td class="org-left"><a href="lectures/lecture0.pdf">Introduction to number theory</a></td>
<td class="org-right">x</td>
<td class="org-right">1</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">1</td>
<td class="org-left"><a href="lectures/swelecture1.pdf">Heltal, delbarhet</a></td>
<td class="org-left"><a href="lectures/lecture1.pdf">Integers, divisibility</a></td>
<td class="org-right">1.5,3</td>
<td class="org-right">1</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">2</td>
<td class="org-left"><a href="lectures/swelecture2.pdf">Kongruensräkning</a></td>
<td class="org-left"><a href="lectures/lecture2.pdf">Congruences</a></td>
<td class="org-right">4.1-4.3</td>
<td class="org-right">1</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">2b</td>
<td class="org-left"><a href="lectures/swelectureALG.pdf">Fermats och Eulers satser</a></td>
<td class="org-left"><a href="lectures/lecture2b.pdf">Fermat’s and Eulers’s theorems</a></td>
<td class="org-right">6</td>
<td class="org-right">1</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">3</td>
<td class="org-left"><a href="lectures/swelecture3.pdf">Aritmetiska funktioner</a></td>
<td class="org-left"><a href="lectures/lecture3.pdf">Arithmetical functions</a></td>
<td class="org-right">7</td>
<td class="org-right">2</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">4</td>
<td class="org-left"><a href="lectures/swelecture4.pdf">Hensel-lyft</a></td>
<td class="org-left"><a href="lectures/lecture4.pdf">Hensel lifting</a></td>
<td class="org-right">4.4</td>
<td class="org-right">1</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">4</td>
<td class="org-left"><a href="lectures/Henselfaktorisering.html">Hensel-faktorisering</a></td>
<td class="org-left">not translated</td>
<td class="org-right"> </td>
<td class="org-right">0</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">5</td>
<td class="org-left"><a href="lectures/swelecture5.pdf">Primitiva rötter</a></td>
<td class="org-left"><a href="lectures/lecture5.pdf">Primitive roots</a></td>
<td class="org-right">9</td>
<td class="org-right">1</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">6</td>
<td class="org-left"><a href="lectures/swelecture6.pdf">Kvadratiska residyer</a></td>
<td class="org-left"><a href="lectures/lecture6.pdf">Quadratic residues</a></td>
<td class="org-right">11</td>
<td class="org-right">2-3</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">7</td>
<td class="org-left"><a href="lectures/kedjebrakinledning.pdf">Kedjebråk, inledande exempel</a></td>
<td class="org-left">not translated</td>
<td class="org-right"> </td>
<td class="org-right">0-1</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">7</td>
<td class="org-left"><a href="lectures/swelecture7.pdf">Kedjebråk</a></td>
<td class="org-left"><a href="lectures/lecture7.pdf">Continued fractions</a></td>
<td class="org-right">12.2-12.5</td>
<td class="org-right">1-2</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">8</td>
<td class="org-left"><a href="lectures/swelecture8.pdf">Pytagoriska tripplar</a></td>
<td class="org-left"><a href="lectures/lecture8.pdf">Pythagorean triples</a></td>
<td class="org-right">13.1-13.2</td>
<td class="org-right">1</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">9</td>
<td class="org-left"><a href="lectures/swelecture9.pdf">Summor av kvadrater</a></td>
<td class="org-left"><a href="lectures/lecture9.pdf">Sums of squares</a></td>
<td class="org-right">13.3</td>
<td class="org-right">1</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">10</td>
<td class="org-left"><a href="lectures/swelecture10.pdf">Pells ekvation</a></td>
<td class="org-left"><a href="lectures/lecture10.pdf">Pell’s equation</a></td>
<td class="org-right">13.4</td>
<td class="org-right">1</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">11</td>
<td class="org-left"><a href="lectures/swelecture11.pdf">Gaussiska heltal</a></td>
<td class="org-left"><a href="lectures/lecture11.pdf">The Gaussian Integers</a></td>
<td class="org-right">14</td>
<td class="org-right">1</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">12</td>
<td class="org-left">ej översatt</td>
<td class="org-left"><a href="lectures/lecture12.pdf">RSA, Mersenne primes, etc</a></td>
<td class="org-right"> </td>
<td class="org-right">0-1</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">13</td>
<td class="org-left">ej översatt</td>
<td class="org-left"><a href="lectures/lecture13.pdf">Repetition</a></td>
<td class="org-right"> </td>
<td class="org-right">0-1</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right"> </td>
<td class="org-left"> </td>
<td class="org-left"> </td>
<td class="org-right"> </td>
<td class="org-right"> </td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
</section>
<section id="outline-container-orgf5fd67d" class="outline-2">
<h2 id="orgf5fd67d">Tentor <a id="org64fbaef"></a></h2>
<div class="outline-text-2" id="text-orgf5fd67d">
<table>
<colgroup>
<col class="org-right">
<col class="org-left">
<col class="org-left">
<col class="org-left">
</colgroup>
<thead>
<tr>
<th scope="col" class="org-right">Datum</th>
<th scope="col" class="org-left">Examinator</th>
<th scope="col" class="org-left">Tentamen</th>
<th scope="col" class="org-left">Lösningar</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td class="org-right">2024-06-01</td>
<td class="org-left">Jan Snellman</td>
<td class="org-left"><a href="exams/2024/tenta-TATA54-20240601.pdf">TATA5420240601</a></td>
<td class="org-left"><a href="exams/2024/tenta-TATA54-20240601-losning.pdf">TATA5420240601losn</a></td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">2023-08-17</td>
<td class="org-left">Jan Snellman</td>
<td class="org-left"><a href="exams/2023/tenta-TATA54-20230817.pdf">TATA5420230817</a></td>
<td class="org-left"><a href="exams/2023/tenta-TATA54-20230817soln.pdf">TATA5420230817soln</a></td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">2023-06-03</td>
<td class="org-left">Jan Snellman</td>
<td class="org-left"><a href="exams/2023/tenta-TATA54-20230603.pdf">TATA5420230603</a></td>
<td class="org-left"><a href="exams/2023/tenta-TATA54-20230603losn.pdf">TATA5420230603losn</a></td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">2022-08-18</td>
<td class="org-left">Jan Snellman</td>
<td class="org-left"><a href="exams/2022/tenta-TATA54-20220818.pdf">TATA5420220818</a></td>
<td class="org-left">lösning saknas</td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">2021-06-03</td>
<td class="org-left">Jan Snellman</td>
<td class="org-left"><a href="exams/2021/tenta-TATA54-20210603.pdf">TATA5420210603sv</a></td>
<td class="org-left"><a href="exams/2021/tenta-TATA54-20230817soln.pdf">TATA5420210603soln</a></td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">2021-06-03</td>
<td class="org-left">Jan Snellman</td>
<td class="org-left"><a href="exams/2021/tenta-TATA54-20210603_en.pdf">TATA5420210603en</a></td>
<td class="org-left"><a href="exams/2021/tenta-TATA54-20230817soln.pdf">TATA5420210603soln</a></td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">2021-08-19</td>
<td class="org-left">Jan Snellman</td>
<td class="org-left"><a href="exams/2021/tenta-TATA54-20210819.pdf">TATA5420210819</a></td>
<td class="org-left"><a href="exams/2021/tenta-TATA54-20210819soln.pdf">TATA54202108119soln</a></td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">2021-10-22</td>
<td class="org-left">Jan Snellman</td>
<td class="org-left"><a href="exams/2021/tenta-TATA54-20211022.pdf">TATA5420212022</a></td>
<td class="org-left"><a href="exams/2021/tenta-TATA54-20211022soln.pdf">TATA5420211022soln</a></td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">2020-06-04</td>
<td class="org-left">Jan Snellman</td>
<td class="org-left"><a href="exams/2020/tenta-TATA54-20200604.pdf">TATA5420200604</a></td>
<td class="org-left"><a href="exams/2020/tenta-TATA54-20200604soln.pdf">TATA5420200604soln</a></td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">2019-06-04</td>
<td class="org-left">Jan Snellman</td>
<td class="org-left"><a href="exams/2019/tenta-TATA54-20190604.pdf">TATA5420190604</a></td>
<td class="org-left"><a href="exams/2019/tenta-TATA54-20190604soln.pdf">TATA5420190604soln</a></td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">2019-11-01</td>
<td class="org-left">Jan Snellman</td>
<td class="org-left"><a href="exams/2019/tenta-TATA54-20191101.pdf">TATA5420191101</a></td>
<td class="org-left"><a href="exams/2019/tenta-TATA54-20191101soln.pdf">TATA5420191101soln</a></td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">2018-06-07</td>
<td class="org-left">Jan Snellman</td>
<td class="org-left"><a href="exams/2018/tenta-TATA54-20180607.pdf">TATA5420180607</a></td>
<td class="org-left"><a href="exams/2018/tenta-TATA54-20180607soln.pdf">TATA5420180607soln</a></td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">2018-03-12</td>
<td class="org-left">Jan Snellman</td>
<td class="org-left"><a href="exams/2018/tenta-TATA54-20180312.pdf">TATA5420180312</a></td>
<td class="org-left"><a href="exams/2018/tenta-TATA54-20180312soln.pdf">TATA5420180312soln</a></td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">2017-03-13</td>
<td class="org-left">Jan Snellman</td>
<td class="org-left"><a href="exams/2017/tenta-TATA54-20170313.pdf">TATA5420170313</a></td>
<td class="org-left"><a href="exams/2017/tenta-TATA54-20170313soln.pdf">TATA5420170313soln</a></td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">2017-06-08</td>
<td class="org-left">Jan Snellman</td>
<td class="org-left"><a href="exams/2017/tenta-TATA54-20170608.pdf">TATA5420170608</a></td>
<td class="org-left"><a href="exams/2017/tenta-TATA54-20170608soln.pdf">TATA5420170608soln</a></td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">2017-08-26</td>
<td class="org-left">Jan Snellman</td>
<td class="org-left"><a href="exams/2017/tenta-TATA54-20170826.pdf">TATA5420170826</a></td>
<td class="org-left"><a href="exams/2017/tenta-TATA54-20170826soln.pdf">TATA5420170826soln</a></td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">2016</td>
<td class="org-left">Leif Melkersson</td>
<td class="org-left"><a href="exams/2016/tam.pdf">exams/2016/tam.pdf</a></td>
<td class="org-left"><a href="exams/2016/stam.pdf">exams/2016/stam.pdf</a></td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">2016</td>
<td class="org-left">Leif Melkersson</td>
<td class="org-left"><a href="exams/2016/tau.pdf">exams/2016/tau.pdf</a></td>
<td class="org-left"><a href="exams/2016/stau.pdf">exams/2016/stau.pdf</a></td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">2016</td>
<td class="org-left">Leif Melkersson</td>
<td class="org-left"><a href="exams/2016/taj.pdf">exams/2016/taj.pdf</a></td>
<td class="org-left"><a href="exams/2016/staj.pdf">exams/2016/staj.pdf</a></td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">2015</td>
<td class="org-left">Leif Melkersson</td>
<td class="org-left"><a href="exams/2015/tja.pdf">exams/2015/tja.pdf</a></td>
<td class="org-left"><a href="exams/2015/tjas.pdf">exams/2015/tjas.pdf</a></td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">2015</td>
<td class="org-left">Leif Melkersson</td>
<td class="org-left"><a href="exams/2015/tju.pdf">exams/2015/tju.pdf</a></td>
<td class="org-left"><a href="exams/2015/tjus.pdf">exams/2015/tjus.pdf</a></td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">2015</td>
<td class="org-left">Leif Melkersson</td>
<td class="org-left"><a href="exams/2015/tma.pdf">exams/2015/tma.pdf</a></td>
<td class="org-left"><a href="exams/2015/tmas.pdf">exams/2015/tmas.pdf</a></td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">2014</td>
<td class="org-left">Leif Melkersson</td>
<td class="org-left"><a href="exams/2014/rieja.pdf">exams/2014/rieja.pdf</a></td>
<td class="org-left"><a href="exams/2014/sv1408.pdf">exams/2014/sv1408.pdf</a></td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">2013</td>
<td class="org-left">Leif Melkersson</td>
<td class="org-left"><a href="exams/2013/tenta.pdf">exams/2013/tenta.pdf</a></td>
<td class="org-left"><a href="exams/2013/tentasv.pdf">exams/2013/tentasv.pdf</a></td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">2013</td>
<td class="org-left">Leif Melkersson</td>
<td class="org-left"><a href="exams/2013/tena.pdf">exams/2013/tena.pdf</a></td>
<td class="org-left"><a href="exams/2013/sv1308.pdf">exams/2013/sv1308.pdf</a></td>
</tr>
<tr>
<td class="org-right">2012</td>
<td class="org-left">Leif Melkersson</td>
<td class="org-left"><a href="exams/2012/numm.pdf">exams/2012/numm.pdf</a></td>
<td class="org-left"><a href="exams/2013/numms.pdf">exams/2013/numms.pdf</a></td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
</section>
<section id="outline-container-orgac41624" class="outline-2">
<h2 id="orgac41624">Datorlaborationer <a id="org2d2cfa4"></a></h2>
<div class="outline-text-2" id="text-orgac41624">
</div>
<div id="outline-container-orgd0ccf06" class="outline-3">
<h3 id="orgd0ccf06">SageMath</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgd0ccf06">
<p>
Jag kommer att använda datoralgebraprogrammet <a href="https://www.sagemath.org/">SageMath</a> för att beräkna lite större exempel.
Om ni vill experimentera på egen hand kan ni enkelt <a href="https://doc.sagemath.org/html/en/installation/index.html">installera programmet på er dator</a>,
och köra de kodsnuttar nedan som jag utvunnit från mina föreläsningsanteckningar.
</p>
<p>
Man kan också köra SageMath på nätet via <a href="https://cocalc.com/">CoCalc</a>.
</p>
<p>
Ett tredje alternativ, enkelt och flärdfritt, är att mata in sin kod till <a href="https://sagecell.sagemath.org/">SageCell</a>.
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgd3b0180" class="outline-3">
<h3 id="orgd3b0180">Kod från vissa föreläsningar</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgd3b0180">
<ul class="org-ul">
<li><a href="labs/lecture0.html">Föreläsning 0</a></li>
<li><a href="labs/lecture1.html">Föreläsning 1</a></li>
<li><a href="labs/lecture2.html">Föreläsning 2</a></li>
<li><a href="labs/lecture3.html">Föreläsning 3</a></li>
<li><a href="labs/lecture4.html">Föreläsning 4</a></li>
<li><a href="labs/lecture5.html">Föreläsning 5</a></li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org85c34f4" class="outline-3">
<h3 id="org85c34f4">Laborationer</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org85c34f4">
</div>
<div id="outline-container-orga1be7da" class="outline-4">
<h4 id="orga1be7da">Hensellyft, Primitiva rötter, Kinesiska restsatsen</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orga1be7da">
<p>
Finns att <a href="labs/HenselLyftLabHT2023.html">läsa direkt</a> eller som <a href="labs/HenselLyftLabHT2023.ipynb">Jupyter notebook</a> eller som <a href="labs/HenselLyftLabHT2023web.html">webapp</a>.
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org2528f16" class="outline-4">
<h4 id="org2528f16">Kedjebråk</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org2528f16">
<p>
Finns att <a href="labs/kedjebraklab.html">läsa direkt</a> eller som <a href="labs/kedjebraklab.ipynb">Jupyter notebook</a> eller som <a href="labs/kedjebraklabweb.html">webapp</a>.
</p>
</div>
</div>
</div>
</section>
<section id="outline-container-org27d49bb" class="outline-2">
<h2 id="org27d49bb">Tidigare år <a id="orgb17e462"></a></h2>
<div class="outline-text-2" id="text-org27d49bb">
</div>
<div id="outline-container-orga1fa650" class="outline-3">
<h3 id="orga1fa650">TATA54 Anteckningar från tidigare år</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orga1fa650">
</div>
<div id="outline-container-orgd4aaf8a" class="outline-4">
<h4 id="orgd4aaf8a">2023</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgd4aaf8a">
<ul class="org-ul">
<li>2023-12-21: Gjorde klart <a href="index.html">denna nya kurshemsida</a>.</li>
<li>2023-06-05: Jag har rättat tentan; en
stor majoritet klarade sig, och det blev många fyror och femmor.
Uppgift 3 var tydligen den svåraste; det finns en liknande uppgift i
Rosen, 9.4.7. Resultaten blir registrerade senare i veckan.</li>
<li>2023-06-05: <a href="exams/2023/tentaTATA5420230603.pdf">Talteoritentan
jun 3 2023</a> är nu upplagd, liksom dess
<a href="exams/2023/tentaTATA5420230603losn.pdf">lösningar</a>.</li>
<li>2023-05-08: Någon frågade om Rosen 6.1.48, här är en lösningsskiss.
<ol class="org-ol">
<li>Skall visa att 2<sup>n</sup> ej kongruent med 1 mod n (n >= 2)</li>
<li>Om n jämnt klart</li>
<li>Om nu udda så n = pm med p udda heltal, låt p vara minsta sådant</li>
<li>Antag 2<sup>n</sup> kongruent 1 mod n</li>
<li>Då även 2<sup>n</sup> kongruent 1 mod p</li>
<li>sgd(p-1,n)=1 ty p-1 jämnt, udda primdelare till p-1 mindre än p
och alltså ej primdelare till n</li>
<li>Har nu att 2= 2<sup>1</sup> = 2<sup>(r(p-1)+sn)</sup> = (2<sup>(p-1)</sup>)<sup>r</sup>*(2<sup>n</sup>)<sup>s</sup> kongruent
1<sup>r</sup>*1<sup>s</sup>=1 mod p</li>
<li>Använde Fermats lilla samt antagandet 2<sup>n</sup> kongruent 1 mod p</li>
<li>Motsägelse, så antagandet var falskt.</li>
</ol></li>
<li>2023-05-08: På fredag diskuterar vi följande uppgifter från Rosen:
13.1.3, 13.1.8, 13.2.3, 13.3.1b, 13.3.2g, 13.3.10f</li>
<li>2023-03-01: Jag har uppdaterat
<a href="Lectures/swelecture6.pdf">föreläsningen om kvadratisk reciprocitet</a>
samt fixat fel med faktorisering av heltal via lyft i
<a href="Lectures/swelecture4.pdf">föreläsningen om Hensel-lyft</a>.</li>
<li>2023-03-01: Nästa lektion, den 7 mars, så ägnar vi första halvan åt
att diskutera uppgifter om primitiva rötter. Förbered genom att
titta på 9.1:2cd,6df,10 9.2: 1d,3e 9.3: 3c,5c 9.4:2b,4,9
9.6:1bcg,4de . Räkna någon uppgift från varje avsnitt i alla fall.</li>
<li>2023-02-15: Nästa lektion, den 21 feb, så har vi en
<a href="Code/HenselLyftLabHT2023.html">laboration</a>
<a href="Code/HenselLyftLabHT2023.ipynb">laboration</a>. Tag med er
någon bärbar dator, surfplatta, gigantisk utfällbar telefon eller
annan uppkopplad moj. Vi får se om hela lektionen tas i anspråk för
detta, eller om jag börjar att prata om kvadratisk reciprocitet.</li>
<li>2023-02-12: Specifikt så räknar vi 7.2.35, 7.4.30, 7.4.31.</li>
<li>2023-02-02: Vi räknar lite uppgifter på lektionen den 13 feb, och då
från kap 7.1, 7.2, 7.4. Alla uppgifter är bra, 7.2.35 har ett
tryckfel (skall vara w(d)). 7.2.38 är komplicerad och kan skippas.</li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgc39991d" class="outline-4">
<h4 id="orgc39991d">2021</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgc39991d">
<ul class="org-ul">
<li>2021-20-26: Alla klarade omtentan, trots att uppgift 5 kanske var
oklar, jag menade periodLÄNGD för decimalutvecklingen, den kan
beräknas utan att räkna ut hela den periodiska delen av
utvecklingen. På svenska kan period användas som synonym för
periodlängd…</li>
<li>2021-10-22: <a href="exams/2021/tentaTATA5420211022.pdf">Talteoritentan okt 22
2021</a>, med <a href="Tentor/2021/tenta20211022losn.pdf">lösningar</a></li>
<li>2021-08-23: <a href="exams/2021/tentaTATA54210819.pdf">Talteoritentan aug 19
2021</a>, med <a href="Tentor/2021tenta210819losn.pdf">lösningar</a></li>
<li>2021-06-07: <a href="exams/2021/tentaTATA5420210603.pdf">Tentan juni 3 2021</a>
med <a href="exams/2021/tenta20210603soln.pdf">lösningar</a>.</li>
<li>2021-03-02: Korrigerade swelecture6.pdf.</li>
<li>2021-02-16: Jag lägger upp de korrigerade föreläsningsanteckningarna
från dagens föreläsning även här på kurshemsidan, har redan lagt in
dem i TEAMS. Jag kommer att successivt uppdatera
föreläsningsanteckningarna (och lägga in de allra sista, Gaussiska
heltal ej översatt än).</li>
<li>2021-02-16: Enligt studenters schema är det föreläsning den 23 feb
och den 2 mars, enligt mitt schema inte: räkna med att det faktiskt
blir föreläsning då om inget annat sägs här.</li>
<li>2021-02-16: Tentadatumet den 3 juni kolliderade med en
optimeringstenta; vi försöker ändra.</li>
<li>2021-02-08: Kombinationen av <a href="https://obsproject.com/">OBS
Studio</a>, <a href="https://obs.ninja">obs.ninja</a>, och
<a href="https://obsproject.com/forum/resources/obs-virtualcam.539/">OBS-VirtualCam</a>
gör det möjligt att använda sin mobiltelefon som webcam i TEAMS. Gör
din röst hörd och visa upp din väna nuna i nästa möte!</li>
<li>2021-02-08: Föreläsningarna 1,2,3,ALG,4 på kurshemsidan är nu
korrigerade och extra korrekta.</li>
<li>2021-01-08: Jag har skapat ett TEAM och bjudit in de studenter jag
hittade i LADOK. Om du har anmält dig till kursen, men inte fått
någon inbjudan, så mejla mig.</li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org6bff760" class="outline-4">
<h4 id="org6bff760">2020</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org6bff760">
<ul class="org-ul">
<li><p>
2020-12-12: Kursen kommer att ges VT2021, med start den 19e januari.
Jag planerar att
</p>
<ul class="org-ul">
<li>Undervisa på svenska</li>
<li>Hålla onlineföreläsningar direkt, snarare än att ha förinspelade
sådana</li>
<li>Ha något slags forum, förmodligen i Teams, där ni kan diskutera
uppgifter från kursboken</li>
<li>Låt varje student hålla en liten miniföreläsning om något (ej
centralt) kursavsnitt, till exempel RSA-kryptering, system av
linjära Diofantiska ekvationer, periodicitet för
decimalutveckling… Det kommer att ge en liten bonus på tentan.</li>
</ul>
<p>
För närvarande håller jag på med att modifiera föreläsningarna och
översätta dem till svenska. Det blir inga större förändringar mot
tidigare år.
</p></li>
<li>2020-06-05: <a href="exams/2020/tentaTATA54200604soln.pdf">Solutions</a> to
<a href="exams/2020/tenta200604.pdf">the exam on June 4</a> are now
available.</li>
<li>2020-06-02: More information on the exam. You should receive an
e-mail with information on Wiseflow, the tool used to collect the
exams. If not, the procedure to send your exam is a s follows:
<ol class="org-ol">
<li>Produce a pdf file</li>
<li>log in to <a href="https://europe.wiseflow.net/">europe.wiseflow.net</a></li>
<li>click <i>log in</i> then <i>edugain</i></li>
<li>use your student id</li>
<li>proceed with prudence and caution</li>
</ol></li>
<li>2020-05-27: There will be an exam 2020-06-04. It will be a
remote/digital exam, performed in line with the instructions
<a href="https://old.liu.se/mai/und/filarkiv/1.777975/Tentamensrutin-vid-MAI-LiU-2020.pdf">here</a>.
For this particular exam, it is allowed to consult your textbook
during the exam. You may not use a computer, or receive external
help. If there is something unclear with the exercises on the exam,
call me at for clarification. If you have problems with <i>Wiseflow</i>,
the system for collating the electronic files for the exam, contact
someone else (perhaps
<a href="https://liu.se/medarbetare/hella17%22%22">Helena Larsson</a> ).</li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org85cd779" class="outline-4">
<h4 id="org85cd779">2019</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org85cd779">
<ul class="org-ul">
<li>2019-11-01: The course will not be given spring 2020.</li>
<li>2019-11-01: <a href="exams/2019/tentaTATA5420191101soln.pdf">Solutions</a> to
<a href="exams/2019/tenta191101.pdf">the exam on November 1</a> are now
available.</li>
<li>2019-06-05: <a href="exams/2019/tentaTATA5420190604soln.pdf">Solutions</a> to
<a href="exams/2019/tenta190604.pdf">the exam on June 4</a> are now
available.</li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org21f5089" class="outline-4">
<h4 id="org21f5089">2018</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org21f5089">
<ul class="org-ul">
<li>2018-06-08: <a href="exams/2018/tentaTATA5420180607soln.pdf">Solutions</a> to
<a href="exams/2018/tenta20180607.pdf">the exam on June 7</a> are now
available.</li>
<li>2018-03-13: <a href="exams/2018/tentaTATA54180312soln.pdf">Solutions</a> to
<a href="exams/2018/tenta180312.pdf">the exam on March 12</a> are now
available.</li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org7ce4987" class="outline-4">
<h4 id="org7ce4987">2017</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org7ce4987">
<ul class="org-ul">
<li>2017-08-28: <a href="exams/2017/tentaTATA54170826soln.pdf">Solutions</a> to
<a href="exams/2017/tenta170826.pdf">the exam on Saturday 26</a> are now
available.</li>
<li>2017-06-09: <a href="exams/2017/tentaTATA5420170608soln.pdf">Solutions</a> to
<a href="exams/2017/tenta20170608.pdf">yesterday’s exam</a> are now available.</li>
<li>2017-03-14: <a href="exams/2017/tentaTATA5420170313losn.pdf">Solutions</a> to
<a href="exams/2017/tenta170313.pdf">yesterday’s exam</a> are now available.</li>
<li>2017-01-31: According to Bokakademin the textbook might not be
available until next week; as a stop-gap measure you might consult
<a href="https://math.libretexts.org/Bookshelves/Combinatorics_and_Discrete_Mathematics/Elementary_Number_Theory_(Raji)">An introduction in elementary number theory</a> by Wissam Raji,
which I found on the internets and which I have reason to
believe is made freely available for the public. The treatment of
primitive roots, the next topic in the course, is very similar to
that in Rosen.
Another text is <a href="https://wstein.org/ent/">Elementary Number Theory</a> av William Stein.</li>
</ul>
<figure id="orgd0c0b37">
<img src="img/sieveE.jpg" alt="sieveE.jpg">
</figure>
</div>
</div>
</div>
</section>
<section id="outline-container-orga44ea53" class="outline-2">
<h2 id="orga44ea53">Index</h2>
<div class="outline-text-2" id="text-orga44ea53">
<p>
<a href="sitemap.html">Samtliga nåbara filer</a>
</p>
</div>
</section>
</main>
<footer id="postamble" class="status">
<p class="author">Författare: Jan Snellman Jan Snellman</p>
<p class="date">Created: 2024-06-01</p>
<p class="validation"><a href="https://validator.w3.org/check?uri=referer">Validate</a></p>
</footer>
</body>
</html>