Talteori översiktsföreläsning
1. Analytisk talteori
1.1. Primtalsräkning
1.1.1. Primtalsräknarfunktionen
\(\pi(x) = \sum_{k \le x} \mathrm{IsPrime}(k)\)
\(\pi(x) \sim \frac{x}{\log x}\) då \(x \to \infty\).
1.1.2. Hadamard

1.1.3. Primtalens täthet
Primtalstäthetsfunktion \(\pi(x)/x\).
\(\pi(x)/x \sim 1/\log(x)\).
Följer av primtalssatsen.
Sannolikheten att ett positivt heltal \(\le 1000\) är ett primtal är \(p(1000)/1000 \approx \frac{1}{\log(1000)}\) vilket är cirka . I själva verket finns
primtal \(\le 1000\).
1.1.4. Approximation av primtalstäthet
\(p(x)/x = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(k-1)!}{\log(x)^k} + \mathcal{O}\left( \frac{(n-1)!}{(log(x)^n)} \right)\) as \(x \to \infty\).

1.2. Partitioner
Partitions.options(convention=’french’,latex=’list’)
\(n\) positivt heltal. En (heltals)partition \(\lambda \vdash n\) är en svagt avtagande heltalsföljd som summerar till \(n\).
\(\lambda=(3,3,2,1,1,1) \vdash 11\). Det finns \(\sage{Partitions(5).cardinality()}\) partitioner av \(5\), nämligen \[\sage{Partitions(5).list()}\]
- Young-diagrammet av en partition är en hög lådor, svarande mot delarnas storlek
- Konjugatet till en partition fås genom att svänga runt diagrammet
- \[\begin{split} \lambda &=(4,4,2,1) =\young(~~~~,~~~~,~~,~) \\ \lambda^* & = (4,3,2,2) = \young(~~~~,~~~,~~,~~) \end{split}\]
- Ger bijektion mellan partitioner med högst \(k\) delar och partitioner vars delar är \(\le k\)
f = 1/((1-x)*(1-x2)*(1-x3)*(1-x4))
- Högst 4 delar, eller storlek på delar \(\le 4\)
- \(c_j\) räknar antal sådana partitioner av \(j\)
- \(p_4(x) = \sum_{j \ge 0}c_jx^j\) generande funktion
- \(p_4(x) = \sage{f.series(x==0,order=7)}\)
- Lätt att se att \( p_4(x) = \sage{f} \)
- Partialbråksuppdelning: \( p_4(x) = \sage{f.partial_fraction()} \)
- Ger asymptotisk växt av \(c_j\) (som funktion av \(j\))
def p(n): return Partitions(floor(n)).cardinality() def hr(n): return exp(pi*sqrt(2*n/3))/(4*n*sqrt(3))
\(p(n)\) antal partitioner av \(n\).
\[\sum_{n =0}^\infty p(n)x^n = \prod_{k=1}^\infty \frac{1}{1-x^k}\]
\(p(n) \sim \frac{1}{4n \sqrt{3}}\exp \left(\pi \sqrt{ \frac{2n}{3}} \right)\) as \(n \to \infty\).
1.2.1. G. H. Hardy
2. ”Geometry of Numbers”
2.1. Gitterpunkter i konvexa kroppar
\(D \subset {\mathbb{R}}^n\) konvex, volym \(> 2^n\), \(-D=D\). Då innehåller \(D\) gitterpunkt skild från origo.

\(A\) area av konvex polygon i planet vars hörnpunkter är gitterpunkter, \(i\) antal inre gitterpunkter, \(b\) antal randpunkter. Då \[A=i+\frac{b}{2}-1\]
2
\( i = 7, b = 8, A = i + b/2 - 1 = 10 \)
3. Aritro-algebraisk geometri
3.1. Pythagoreanska tripplar
3.1.1. We kommer att bestämma de Pythagoreanska tripplarna!
Heltalslösningar till \[a^2+b^2=c^2\] svarar mot rational punkt \((a/c,b/c)\) på enhetscirkeln, kan parametriseras med \[a=2mn,\quad b=m^2-n^2, \quad c=m^2+n^2\]
var(”x y”)
3.1.2. Beviset går utanför kursen…
För \(n \ge 3\) så saknar ekvationen \[x^n+y^n=z^n\] icke-triviala heltalslösningar.
4. Kopplingar till algebra
4.1. Ingår i kursen:
4.1.1. Algebrarelaterade spörsmål i kursen:
- Gruppen \({\mathbb{Z}}_n^*\) är cyclisk då \(n\) är primtalspotens
- \({\mathbb{Z}}_{nm} \simeq {\mathbb{Z}}_m \times {\mathbb{Z}}_n\) omm \(\gcd(m,n)=1\), samma för \({\mathbb{Z}}_{mn}^*\).
- \({\mathbb{Z}}[i] = \left\{\,{a+bi}\,\vrule\,{a,b\in {\mathbb{Z}}}\,\right\}\) är ett huvudidealområde domain
- Hensel-lyft
- Möbiusinversion
4.2. Inte i kursen
4.2.1. Algebra-relaterade spörsmål vi hoppar
- Permutationer, cykeltyp, partitioner
- Algebraiska talkroppar, deras heltal, klasstal
5. Elementär talteori
5.1. Elementär?
5.1.1. Elementär talteori
- ”Elementär” betyder ingen avancerad analys eller algebra, ingen komplicerad kombinatorik
- Inte samma som ”lätt”
- Theorin byggs upp från grunden, i princip inga förkunskaper
- Men behöver mängdlära, induktion
- Användbart: linjär algebra
6. Denna kurs
6.1. Litteratur
6.1.1. Textbok: Rosen
- ”Elementary Number Theory” av Rosen
- Chapt 1.5, 2.1, 3, 4.1-4, 5.1, 6, 7.1-4, 9, 11.1-4, 12, 13.1-4, 14.
- Definierar kursen
- Jag kommer inte att ta upp allt på föreläsningarna
- Kommer också att använda ”Elementary number Theory” av Stein
- Hackman’s manuskript rekommenderas som bredvidläsning
- Gaussiska heltal via Conrads text
6.2. Föreläsningar
6.2.1. Föreläsningar, övningsräkning
- 19 sessioner
- Föreläsningar
- Övningsräkning
- Lista på rekommenderade övningar på kurshemsidan
http://courses.mai.liu.se/GU/TATA54/
6.2.2. Kursöversikt
- Heltal, delbarhet
- Unik faktorisering
- Sgd, Linjära Diofantiska ekvationer
- Kongruenser, Kinesiska restsatsen
- Multiplicativ ordning, Fermat, Euler
- Arithmetiska funktioner, Möbiusinversion
- Hensel-lyft
- Lagrange, Primitiva rrötter, Diskreta logaritmer
- Quadratisk Reciprocitet
- Kedjerbråk
- Pell’s ekvation
- Sum of squares
- Gaussiska heltal